Aussagenlogik

Ist es draußen kalt und regnet es? Nur wenn beides zutrifft, nimmst du Schal und Schirm mit. Ohne es zu merken, verknüpfst du ständig Aussagen zu neuen Aussagen. Die Aussagenlogik macht diese Verknüpfungen genau und nachprüfbar.

Aussagen sind wahr oder falsch

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, aber niemals beides. Der Satz $3 > 2$ ist wahr, die Behauptung, 3 sei eine gerade Zahl, ist falsch. Fragen und Aufforderungen sind dagegen keine Aussagen: Weder die Frage nach der Uhrzeit noch die Bitte, das Fenster zu schließen, lässt sich als wahr oder falsch einstufen. Wir benennen Aussagen kurz mit Buchstaben wie $A$ und $B$.

Und, oder, nicht

Aus Aussagen baut man mit drei Grundbausteinen neue. Das Und, geschrieben $A \land B$, ist nur wahr, wenn beide Teile wahr sind. Das Oder, geschrieben $A \lor B$, ist wahr, sobald mindestens einer der Teile wahr ist. Es schließt den Fall, dass beide wahr sind, ausdrücklich mit ein, anders als das umgangssprachliche entweder oder. Das Nicht, geschrieben $\lnot A$, dreht wahr und falsch einfach um.

Die Wahrheitstabelle

Um eine Verknüpfung vollständig zu verstehen, listet man alle Kombinationen von wahr und falsch auf. Bei einer Aussage gibt es zwei Zeilen, bei zwei Aussagen vier, bei drei Aussagen acht. Mit jeder weiteren Aussage verdoppelt sich die Zeilenzahl. In der Tabelle steht dann für jede Kombination, ob die zusammengesetzte Aussage wahr oder falsch ist. So prüfst du auch, ob zwei verschieden geschriebene Ausdrücke in jeder Zeile denselben Wert haben. Ist das der Fall, bedeuten sie dasselbe, und man darf ein Gleichheitszeichen zwischen sie setzen.

Die Wenn-dann-Aussage

Sehr häufig ist die Form wenn $A$, dann $B$. Sie behauptet nur eines: Wenn der erste Teil wahr ist, muss auch der zweite wahr sein. Falsch ist eine solche Aussage einzig dann, wenn $A$ wahr ist, $B$ aber falsch. Ist $A$ von vornherein falsch, gilt die Aussage als wahr, ganz gleich, was mit $B$ ist. Beispiel: Wenn es regnet, ist die Straße nass. Widerlegen kannst du diesen Satz nur an einem Regentag mit trockener Straße, an einem sonnigen Tag verspricht er dagegen gar nichts.