Beweisen

In der Mathematik reicht es nicht, dass eine Regel bei ein paar Beispielen aufgeht. Eine Aussage gilt erst, wenn sie für alle Fälle sicher stimmt. Ein Beweis ist die lückenlose Begründung dafür. Wir schauen uns drei Werkzeuge an: zwei, mit denen du eine Aussage beweist, und eines, mit dem du sie widerlegst.

Was ein Beweis leisten muss

Ein Beweis führt von Dingen, die schon als wahr gelten, in klaren Schritten zu der neuen Behauptung. Jeder Schritt muss zwingend sein, damit am Ende kein Zweifel bleibt. Beispiele können eine Vermutung nahelegen, aber sie beweisen nie, dass etwas für unendlich viele Fälle gilt.

Der direkte Beweis

Beim direkten Beweis gehst du von den Voraussetzungen aus und rechnest geradeaus zur Behauptung. Ein Klassiker: Die Summe zweier gerader Zahlen ist wieder gerade. Jede gerade Zahl ist das Doppelte einer ganzen Zahl: Die eine lässt sich als $2m$ schreiben, die andere als $2n$, mit ganzen Zahlen $m$ und $n$. Addiert man beide, klammert man die 2 aus und sieht sofort, dass das Ergebnis wieder das Doppelte einer ganzen Zahl ist. Der Beweis gilt damit für alle geraden Zahlen auf einmal, nicht nur für die, die man ausprobiert hat.

Das Gegenbeispiel

Um zu zeigen, dass eine Behauptung falsch ist, genügt ein einziger Fall, in dem sie nicht stimmt. Diesen Fall nennt man Gegenbeispiel. Behauptet jemand, alle Primzahlen seien ungerade, dann reicht die 2: Sie ist eine Primzahl und trotzdem gerade. Damit ist die Behauptung erledigt, egal wie viele andere Primzahlen ungerade sind.

Der Widerspruchsbeweis

Beim Widerspruchsbeweis nimmst du an, die Behauptung sei falsch, und führst diese Annahme so lange weiter, bis etwas Unmögliches herauskommt. Da die Schritte korrekt waren, muss die falsche Annahme selbst der Fehler sein. Also war die Behauptung doch wahr. Diese Methode wirkt zunächst ungewohnt, ist aber sehr mächtig.

Ein einfaches Beispiel: Es gibt keine größte gerade Zahl. Nimm das Gegenteil an, es gäbe eine, und nenn sie $g$. Dann ist auch $g + 2$ gerade und größer als $g$. Damit war $g$ doch nicht die größte, und die Annahme fällt in sich zusammen. Also gibt es wirklich keine größte gerade Zahl.