Mathematik

Venn-Diagramme

Mengen als überlappende Kreise zeichnen und in jedem Bereich abzählen: Venn-Diagramme machen Mengen sichtbar.

Wie viele Kinder mögen Mathe, wie viele Physik, und wie viele beides? Solche Fragen werden verwirrend, sobald sich Gruppen überschneiden. Ein Venn-Diagramm bringt Ordnung hinein, indem es jede Menge als Kreis zeichnet und die Überschneidung sichtbar macht.

Zwei Kreise, vier Bereiche

Zeichne zwei überlappende Kreise für die Mengen $A$ und $B$ , beide in ein Rechteck, das alle betrachteten Objekte umfasst. Innerhalb der Kreise entstehen drei Bereiche: nur $A$ , nur $B$ und die Überschneidung in der Mitte, die für $A \cap B$ steht. Dazu kommt der Bereich außerhalb der Kreise für alles, was zu keiner der beiden Mengen gehört. Jedes Objekt landet in genau einem dieser vier Bereiche.

Anzahlen in die Bereiche eintragen

Beim Abzählen beginnst du immer in der Mitte. Trage zuerst ein, wie viele Objekte in beiden Mengen liegen. Diese Zahl ziehst du dann von den Gesamtzahlen der einzelnen Mengen ab, damit du sie nicht doppelt zählst. So bekommt jeder Bereich genau seine eigene Anzahl.

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Die Überschneidung wird einmal zu viel gezählt, deshalb zieht man sie wieder ab.

Murmelbeutel

Blau3

Gelb5

P(Blau) = 3/8 = 37,5%

Probier es aus: Der Beutel zeigt den Sonderfall ohne Überschneidung, denn jede Murmel ist entweder blau oder gelb, nie beides. Die Mitte des Venn-Diagramms bleibt dann leer, und die Vereinigung ist einfach die Summe der beiden Kreise.

Aus Worten ein Diagramm machen

Steht in einer Aufgabe, dass 14 Kinder Fußball spielen, 8 Tennis und 5 beides, dann gehört die 5 in die Mitte. Wichtig ist die stille Vereinbarung dahinter: Diese 5 Kinder stecken in den 14 und in den 8 bereits mit drin, denn sie spielen ja auch Fußball und auch Tennis. Nur Fußball spielen deshalb $14 - 5 = 9$ Kinder, nur Tennis $8 - 5 = 3$ Kinder. So wird aus einem Fließtext ein klares Bild mit drei Zahlen.

Was außerhalb liegt

Oft gibt es Objekte, die zu keiner Menge gehören. Ihre Anzahl findest du, indem du die Gesamtzahl aller Objekte nimmst und alle drei Bereiche der Kreise abziehst. Was dann bleibt, steht außerhalb der Kreise im umgebenden Rechteck.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

In einer Klasse mögen 12 Kinder Mathe und 9 mögen Physik. 4 Kinder mögen beide Fächer und sind in beiden Zahlen mitgezählt. Wie viele mögen mindestens eines der beiden Fächer?

Es gilt $|A| = 10$ , $|B| = 8$ und $|A \cap B| = 3$ . Wie groß ist $|A \cup B|$ ?

20 Kinder werden befragt: 14 spielen Fußball, 8 spielen Tennis, 5 spielen beides. Wie viele spielen nur Fußball?

Bringe die Schritte zum Ausfüllen eines Venn-Diagramms in die richtige Reihenfolge.

1Bestimme, wie viele Objekte außerhalb der Kreise liegen.
2Trage die Anzahl in der Überschneidung ein.
3Fülle die reinen Bereiche, indem du die Überschneidung abziehst.

Gleiche Gruppe wie zuvor: 14 Fußball, 8 Tennis, 5 beides. Wie viele spielen nur Tennis?

In der Formel $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ wird die Überschneidung …, weil sie sonst doppelt zählen würde.

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