Mengen

Deine Lieblingssongs, die geraden Zahlen, alle Länder mit Küste: Sobald du Dinge zu einer Sammlung zusammenfasst, arbeitest du mit einer Menge. Die Mathematik gibt dieser einfachen Idee eine klare Sprache, mit der sich überraschend viel ordnen lässt.

Was ist eine Menge?

Eine Menge ist eine Sammlung von unterscheidbaren Objekten, den Elementen. Man schreibt sie in geschweiften Klammern, zum Beispiel $A = \{1, 2, 3\}$. Dass die 2 zur Menge gehört, schreibt man $2 \in A$, gelesen als 2 ist Element von A. Gehört ein Objekt nicht dazu, schreibt man $5 \notin A$. Auf die Reihenfolge kommt es nicht an, und jedes Element zählt nur einmal.

Teilmengen

Steckt jedes Element einer Menge auch in einer anderen, ist die erste eine Teilmenge der zweiten. Man schreibt $\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}$. Das Zeichen $\subseteq$ liest man als ist Teilmenge von. Die kleinere Menge ist dann vollständig in der größeren enthalten. Weil das auch gilt, wenn beide Mengen gleich sind, ist jede Menge Teilmenge von sich selbst.

Vereinigung und Schnitt

Aus zwei Mengen lassen sich neue bauen. Die Vereinigung $A \cup B$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ liegen, und ebenso die, die in beiden stecken. Ein solches gemeinsames Element steht in der Vereinigung trotzdem nur einmal. Der Schnitt $A \cap B$ enthält nur die Elemente, die in beiden gleichzeitig stecken. Das kleine $\cup$ sieht aus wie ein Behälter, der alles sammelt, das $\cap$ wie ein Dach, unter dem nur das Gemeinsame Platz hat.

Die leere Menge

Haben zwei Mengen kein gemeinsames Element, ist ihr Schnitt leer. Diese besondere Menge ohne jedes Element heißt leere Menge und wird $\emptyset$ oder $\{\,\}$ geschrieben. Sie ist Teilmenge von wirklich jeder Menge und taucht immer wieder auf, wenn nichts übrig bleibt.