Mittelwert-Fallen

Das Durchschnittsgehalt in der Firma liegt bei 4800 Euro im Monat, die durchschnittliche Wartezeit an der Kasse beträgt 12 Minuten, der Durchschnittshaushalt besitzt 1,4 Autos. Solche Zahlen begegnen dir ständig, und sie klingen objektiv. Aber ein Durchschnitt kann ein sehr schiefes Bild zeichnen, wenn du nicht weißt, wie er zustande kommt. Wer die Tricks kennt, lässt sich nicht mehr so leicht beeindrucken.

Was der Mittelwert wirklich tut

Der klassische Durchschnitt heißt Mittelwert: alle Werte zusammenzählen und durch ihre Anzahl teilen. Haben fünf Freundinnen 10, 12, 14, 16 und 18 Euro Taschengeld, ist der Mittelwert $\frac{70}{5} = 14$ Euro. Hier funktioniert er wunderbar, denn die Werte liegen nah beieinander. Der Mittelwert verteilt die Gesamtsumme gedanklich gleichmäßig auf alle, so als hätte jede exakt gleich viel.

Der Millionär in der Kneipe

Jetzt der berühmte Trick. In einer Kneipe sitzen neun Leute, jede Person verdient 2000 Euro im Monat. Durchschnittseinkommen: 2000 Euro, klar. Dann betritt ein Millionär mit 102000 Euro Monatseinkommen den Raum. Neuer Mittelwert: $\frac{9 \cdot 2000 + 102000}{10} = 12000$ Euro. Statistisch verdienen jetzt alle im Schnitt 12000 Euro, obwohl sich für neun von zehn Personen nichts geändert hat. Ein einziger Ausreißer zieht den Mittelwert massiv nach oben.

Der Median bleibt cool

Es gibt einen zweiten Durchschnittsbegriff, der sich von Ausreißern nicht beeindrucken lässt: den Median. Dafür sortierst du alle Werte der Größe nach und nimmst den Wert genau in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl nimmst du den Mittelwert der beiden mittleren Werte. In der Kneipe liegt der Median vor und nach dem Auftritt des Millionärs bei 2000 Euro: Bei zehn Personen zählen die fünfte und die sechste der sortierten Reihe, und beide verdienen weiterhin 2000 Euro. Der Median beschreibt die typische Person, nicht die Gesamtsumme.

Wann welcher Wert ehrlich ist

Beide Werte sind nützlich, sie beantworten nur verschiedene Fragen. Der Mittelwert ist ehrlich, wenn eine Gesamtsumme gleichmäßig aufgeteilt werden soll: der Regen pro Monat, der Umsatz pro Öffnungstag, die Tore pro Spiel. Der Median ist ehrlich, wenn du wissen willst, wie es der typischen Person geht: Einkommen, Mieten, Hauspreise, Wartezeiten. Genau deshalb stellen Statistikämter beim Einkommen den Median in den Vordergrund. Wenn dir jemand nur den Mittelwert nennt, obwohl es um typische Fälle geht, lohnt sich die Frage: Wo ist der Median, und wer könnte hier der Millionär in der Kneipe sein?