Verteilungen

Die Durchschnittstemperatur liegt bei 15 Grad. Packst du jetzt die Badehose ein oder die Winterjacke? Die ehrliche Antwort: Du weißt es nicht. Vielleicht schwankt das Wetter zwischen 14 und 16 Grad, vielleicht zwischen 0 und 30. Eine einzelne Zahl verrät dir nur die Mitte, aber nicht, wie die Werte um diese Mitte verteilt sind. Genau darum geht es bei Verteilungen, und wer sie lesen kann, sieht in denselben Zahlen sehr viel mehr.

Niemand ist der Durchschnitt

Eine Statistik meldet: 1,4 Autos je Haushalt, 1,5 Kinder je Familie. Einen Haushalt mit 1,4 Autos gibt es natürlich nirgends, und ein halbes Kind schon gar nicht. Der Durchschnitt ist eine Rechengröße, kein echter Fall. In Wirklichkeit gibt es Haushalte mit null, einem, zwei oder drei Autos, und die Verteilung sagt dir, wie viele von jeder Sorte. Wenn du nur den Durchschnitt kennst, kennst du keinen einzigen echten Haushalt.

Streuung: wie weit die Werte auseinanderliegen

Zurück zu den zwei Städten. In Stadt A misst du an drei Tagen 14, 15 und 16 Grad, in Stadt B 5, 15 und 25 Grad. Beide kommen auf denselben Mittelwert, also denselben Durchschnitt, denn der ist nichts anderes als die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl: 45 geteilt durch 3 ergibt 15 Grad. Trotzdem fühlt sich das Leben dort völlig verschieden an. Das einfachste Maß für diesen Unterschied ist die Spannweite: größter Wert minus kleinster Wert. Stadt A hat die Spannweite 2 Grad, Stadt B die Spannweite 20 Grad. Noch genauer wird es, wenn alle Werte mitreden dürfen: Für die mittlere Abweichung bestimmst du den Abstand jedes Werts zum Mittelwert, immer ohne Vorzeichen, und teilst die Summe dieser Abstände durch die Anzahl der Werte. Bei den vier Tageswerten 12, 14, 16 und 18 Grad mit dem Mittelwert 15 sind die Abstände 3, 1, 1 und 3, zusammen 8, geteilt durch 4 also 2 Grad. Je größer die Streuung, desto weniger sagt dir der Mittelwert über einen einzelnen Tag.

Die Glockenkurve

Viele Größen in der Natur folgen einem berühmten Muster: Die meisten Werte drängen sich um die Mitte, und je weiter du dich von der Mitte entfernst, desto seltener werden sie. Gezeichnet ergibt das eine Glockenform. Die Körpergrößen erwachsener Frauen sind das klassische Beispiel: Sehr viele sind ungefähr durchschnittlich groß, ziemlich wenige sind extrem klein oder extrem groß. Wenn du weißt, dass eine Größe glockenförmig verteilt ist, weißt du sofort: Extreme Werte sind möglich, aber selten.

Warum dich das schlauer macht

Sobald jemand nur einen Durchschnitt nennt, kannst du jetzt die entscheidende Anschlussfrage stellen: Wie stark streuen die Werte? Ein Medikament, das im Schnitt gut wirkt, kann bei manchen stark und bei anderen gar nicht wirken. Eine Schule mit gutem Notenschnitt kann aus lauter mittelguten Klassen bestehen oder aus sehr starken und sehr schwachen. Gleicher Mittelwert, komplett andere Geschichte. Die Verteilung ist die Geschichte.