Normalverteilung

Miss die Körpergröße von 1000 Menschen und trage die Werte in ein Säulendiagramm ein. Es entsteht kein Durcheinander, sondern eine überraschend gleichmäßige Form: hoch in der Mitte, nach beiden Seiten symmetrisch abfallend. Dieselbe Form bekommst du bei Messfehlern, Schuhgrößen, Reaktionszeiten und Prüfungspunkten. Sie heißt Glockenkurve, und die Verteilung dahinter ist die Normalverteilung.

Warum so oft dieselbe Form?

Der Grund ist immer derselbe: Wenn viele kleine, voneinander unabhängige Einflüsse zusammenkommen, gleichen sie sich meistens teilweise aus. Extreme Werte entstehen nur dann, wenn fast alle Einflüsse in dieselbe Richtung zeigen, und das ist selten. Körpergröße hängt an vielen Genen und an der Ernährung, ein Messfehler an vielen kleinen Störungen. Deshalb häufen sich die Werte in der Mitte.

Zwei Zahlen legen alles fest

Jede Glockenkurve ist durch zwei Angaben vollständig bestimmt. Der Mittelwert $\mu$ sagt, wo die Spitze liegt. Die Standardabweichung $\sigma$ sagt, wie breit die Glocke ist. Ein großes $\sigma$ ergibt eine flache, breite Kurve, ein kleines eine schmale, hohe. Die Fläche unter der Kurve ist dabei immer gleich, nämlich 1, denn irgendein Wert kommt ja mit Sicherheit vor.

Die Sigma-Regeln

Diese drei Zahlen lohnen sich auswendig, denn sie gelten bei jeder Normalverteilung, unabhängig von $\mu$ und $\sigma$. Etwa 68 % aller Werte liegen höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt. Etwa 95 % liegen innerhalb von zwei, und etwa 99,7 % innerhalb von drei. Alles außerhalb von drei Standardabweichungen ist also wirklich außergewöhnlich.

Ein Beispiel: Die Körpergröße erwachsener Männer in Deutschland liegt ungefähr bei $\mu = 180$ cm mit $\sigma = 7$ cm. Dann sind etwa 68 % zwischen 173 cm und 187 cm groß, etwa 95 % zwischen 166 cm und 194 cm. Wer über 201 cm misst, gehört zu den obersten 0,15 %, denn das sind drei Standardabweichungen nach oben.