Mathematik

Sinus- und Kosinussatz

Auch schiefe Dreiecke ohne rechten Winkel lassen sich vollständig berechnen.

Das brauchst du vorher

, und Tangens brauchen einen rechten Winkel. Doch die meisten Dreiecke in der Welt haben keinen. Zwei Sätze schließen diese Lücke: Der Sinussatz und der Kosinussatz gelten in jedem Dreieck und lassen dich fehlende Seiten und Winkel bestimmen, egal wie schief es ist.

Seiten und Winkel benennen

In einem beliebigen Dreieck liegen sich Seite und Winkel gegenüber: Seite $a$ liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber, $b$ dem Winkel $\beta$ , $c$ dem Winkel $\gamma$ . Diese Zuordnung ist der Schlüssel zu beiden Sätzen, denn sie verknüpfen immer eine Seite mit dem Winkel, der ihr gegenüberliegt.

Dreieckslabor

Kathete a3

Kathete b4

3² + 4² = 25 → c = √25 = 5

Probier es aus: Hier siehst du den Sonderfall mit rechtem Winkel, in dem c² = a² + b² gilt. Der Kosinussatz macht daraus gleich eine Formel, die für jede Dreiecksform stimmt.

Der Sinussatz

Der Sinussatz sagt, dass jede Seite im gleichen Verhältnis zum Sinus ihres Gegenwinkels steht. Das hilft dir, wenn du eine Seite mit ihrem Gegenwinkel kennst und dazu noch eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel. Beispiel: $b = 12$ , $\beta = 35°$ und $\alpha = 70°$ ergeben $a = \frac{b \cdot \sin\alpha}{\sin\beta} \approx 19{,}66$ .

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

Sinussatz: jede Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels ergibt denselben Wert.

Der Kosinussatz

Kennst du zwei Seiten und den Winkel dazwischen, hilft der Kosinussatz. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras: Bei einem rechten Winkel wird $\cos\gamma = 0$ und der letzte Term fällt weg, übrig bleibt $c^2 = a^2 + b^2$ . Beispiel: $a = 9$ , $b = 5$ und $\gamma = 60°$ ergeben $c^2 = 81 + 25 - 90 \cdot 0{,}5 = 61$ , also $c \approx 7{,}81$ . Ist der Winkel stumpf, also größer als 90°, wird sein Kosinus negativ und der letzte Term dazugezählt statt abgezogen. Die dritte Seite fällt dann länger aus.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Kosinussatz: die dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Winkel statt Seiten suchen

Beide Sätze lassen sich auch nach einem Winkel umstellen. Kennst du alle drei Seiten, formst du den Kosinussatz nach $\cos\gamma$ um, und die Umkehrfunktion $\cos^{-1}$ macht aus diesem Wert den Winkel. Kommt dabei ein negativer Kosinus heraus, ist der Winkel stumpf. Kennst du dagegen eine Seite mit ihrem Gegenwinkel und eine zweite Seite, liefert der Sinussatz $\sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\beta}{b}$ , und $\sin^{-1}$ macht daraus den gesuchten Winkel. Wie immer bei Winkeln gilt: Der Taschenrechner muss auf Grad (DEG) stehen.

\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Kosinussatz nach dem Winkel umgestellt: so bekommst du aus drei Seiten den Winkel γ.

Aufgaben

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Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Welcher Satz hilft, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst?

Wie lautet der Sinussatz?

In einem Dreieck ist b = 10, β = 40° und α = 60°. Wie lang ist die Seite a? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Ordne jeder Seite den Winkel zu, der ihr im Dreieck gegenüberliegt.

Seite a

Seite b

Seite c

In einem Dreieck ist a = 5, b = 7 und der eingeschlossene Winkel γ = 45°. Wie lang ist die Seite c? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Bei einem rechten Winkel wird cos γ gleich …, dadurch fällt der letzte Term weg und der Kosinussatz wird zum Satz des Pythagoras.

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