Bogenmaß

Warum hat ein voller Kreis eigentlich 360 Grad und nicht 100 oder 1000? Die Zahl stammt aus Babylon und ist eine praktische Verabredung, denn 360 lässt sich durch viele Zahlen ohne Rest teilen. Zwingend ist sie aber nicht. Es gibt eine zweite Art, Winkel zu messen, die ganz ohne solche Verabredung auskommt: Man misst, wie weit man auf dem Kreisrand gelaufen ist. Das ist das Bogenmaß, und in der höheren Mathematik ist es der Normalfall.

Der Winkel als Bogenlänge

Nimm den Einheitskreis, also den Kreis mit Radius 1. Ein Punkt startet ganz rechts und wandert gegen den Uhrzeigersinn am Rand entlang. Der Weg, den er dabei zurücklegt, ist der Winkel im Bogenmaß. Läuft er genau die Strecke 1 am Rand entlang, hat er einen Winkel von 1 überstrichen, gesprochen ein Radiant. Das sind ungefähr 57 Grad, also etwas weniger als ein Sechstel der vollen Runde.

Warum eine volle Umdrehung 2π ist

Eine volle Runde bedeutet, einmal komplett am Rand entlangzulaufen, also genau den Umfang. Für den Einheitskreis ist der Umfang $U = 2 \cdot \pi \cdot 1 = 2\pi \approx 6{,}28$. Deshalb ist eine volle Umdrehung im Bogenmaß $2\pi$ und nicht 360. Eine halbe Umdrehung ist entsprechend $\pi \approx 3{,}14$, eine Vierteldrehung $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$. Stellt man $b = \alpha \cdot r$ um, steht dort $\alpha = \frac{b}{r}$: eine Länge geteilt durch eine Länge, also eine reine Zahl ohne Einheit. Das Kürzel rad schreibt man nur dazu, um daran zu erinnern, dass die Zahl ein Winkel im Bogenmaß ist.

Grad und Bogenmaß umrechnen

Beide Maße beschreiben dieselbe volle Runde: 360° entsprechen $2\pi$. Teilt man beides durch 2, bleibt der Anker, den du dir merken solltest: 180° entsprechen $\pi$. Von Grad zum Bogenmaß multiplizierst du also mit $\frac{\pi}{180}$, in die Gegenrichtung mit $\frac{180}{\pi}$. Ein Beispiel: $60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$, weil 60 genau dreimal in 180 passt. Und umgekehrt ist $\frac{\pi}{4}$ ein Viertel von 180°, also 45°. So entstehen die Werte, die dir ständig begegnen: 30° sind $\frac{\pi}{6}$, 45° sind $\frac{\pi}{4}$, 60° sind $\frac{\pi}{3}$, 90° sind $\frac{\pi}{2}$, 180° sind $\pi$ und 270° sind $\frac{3\pi}{2}$.