Mathematik

Einheitskreis

Sinus und Kosinus am Kreis mit Radius 1, auch für Winkel über 90 Grad.

Das brauchst du vorher

Im rechtwinkligen Dreieck liegen die beiden spitzen Winkel immer zwischen 0 und 90 Grad, größere Winkel kommen dort nicht vor. Doch was ist mit 120 oder 270 Grad? Der Einheitskreis erweitert und auf jeden beliebigen Winkel und macht dabei auch anschaulich, warum diese Werte manchmal negativ sind.

Ein Kreis mit Radius 1

Der Einheitskreis ist ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius 1. Ein Punkt wandert auf diesem Kreis, und der Winkel $\alpha$ wird von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Die Koordinaten dieses Punktes sind genau der Kosinus und der Sinus des Winkels.

Kreismesser

Radius r4

U = 2 · π · r = 25,1A = π · r² = 50,3

Probier es aus: Verändere den Radius und halte im Kopf fest, dass beim Einheitskreis genau der Wert 1 gilt, an dem sich alles ausrichtet.

x ist Kosinus, y ist Sinus

Weil der Radius 1 ist, wird aus $\cos\alpha = \frac{x}{1}$ einfach $\cos\alpha = x$ und aus dem Sinus $\sin\alpha = y$ . Der x-Wert des Punktes ist also der Kosinus, der y-Wert der Sinus. So kannst du jeden Wert direkt am Kreis ablesen.

P = (\cos\alpha,\ \sin\alpha)

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis trägt Kosinus als x-Wert und Sinus als y-Wert.

Vorzeichen in den Quadranten

Der Kreis ist in vier Viertel geteilt, gezählt wird gegen den Uhrzeigersinn. Rechts oben ( I) sind x und y positiv, also auch Sinus und Kosinus. Links oben (Quadrant II) ist x negativ, der Kosinus wird negativ, der Sinus bleibt positiv. Links unten (Quadrant III) sind beide negativ, rechts unten (Quadrant IV) ist nur der Sinus negativ. So ist $\cos 120° = -0{,}5$ , während $\sin 120°$ positiv bleibt.

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Der trigonometrische Pythagoras: er folgt direkt aus dem Radius 1.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Welche Größe gibt der x-Wert eines Punktes auf dem Einheitskreis an?

In welchem Quadranten ist der Sinus negativ, der Kosinus aber positiv?

Wie groß ist cos 0°? Gib den genauen Wert an.

Ordne jedem Winkel die Lage des Punktes auf dem Einheitskreis zu.

0 Grad

90 Grad

180 Grad

270 Grad

Wie groß ist sin 90°? Gib den genauen Wert an.

Für jeden Winkel gilt $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha =$ ….

Damit geht es weiter

Trigonometrische Funktionen

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