Sinus, Kosinus, Tangens

Rechtwinklige Dreiecke stecken überall: in der Leiter an der Wand, im Dachgiebel, in der Rampe. Kennst du einen Winkel und eine Seite, kannst du die übrigen Seiten ausrechnen, ohne nachzumessen. Der Schlüssel dazu sind drei feste Verhältnisse: Sinus, Kosinus und Tangens. Hier lernst du sie kennen. Wie du sie umstellst und fehlende Längen ausrechnest, zeigt danach das Thema Dreiecke berechnen.

Die Seiten am rechten Winkel

Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Welche der beiden Katheten welche ist, hängt vom Winkel ab, den du gerade betrachtest: Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt an ihm an.

Die drei Verhältnisse

Für einen Winkel $\alpha$ sind die drei Verhältnisse immer gleich definiert, egal wie groß das Dreieck ist. Nur die Form, also der Winkel, entscheidet über den Wert. Der Sinus vergleicht Gegenkathete mit Hypotenuse, der Kosinus die Ankathete mit der Hypotenuse und der Tangens die Gegenkathete mit der Ankathete.

Eine Eselsbrücke

Im Englischen merkt man sich die drei mit SOH CAH TOA: Sine ist Opposite über Hypotenuse, Cosine ist Adjacent über Hypotenuse, Tangent ist Opposite über Adjacent. Wenn du dir lieber einen Satz merkst: Der Sinus greift zur Gegenkathete, der Kosinus zur Ankathete, und beide teilen durch die Hypotenuse. Nur der Tangens bleibt bei den beiden Katheten.

Der Winkel steuert das Verhältnis

Weil die Hypotenuse die längste Seite ist, liegen Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck immer zwischen 0 und 1. Wächst der Winkel von 0° in Richtung 90°, wird der Sinus größer und der Kosinus kleiner. Bei $\alpha = 45°$ sind Gegenkathete und Ankathete gleich lang, deshalb ist dort $\tan 45° = 1$. Der Tangens kennt diese Schranke nicht: Ist die Gegenkathete länger als die Ankathete, wird er größer als 1. Solche festen Werte lernst du im Einheitskreis noch genauer kennen.