Dreiecke berechnen

Sinus, Kosinus und Tangens sind mehr als Definitionen: Sie sind Werkzeuge. Sobald du in einem rechtwinkligen Dreieck einen Winkel und eine Seite kennst, kannst du damit jede fehlende Seite oder jeden fehlenden Winkel ausrechnen. Der ganze Trick ist, die passende Formel auszuwählen und nach der gesuchten Größe umzustellen.

Welche Funktion passt?

Schau dir an, welche Seiten im Spiel sind. Kommen Gegenkathete und Hypotenuse vor, nimmst du den Sinus. Bei Ankathete und Hypotenuse den Kosinus. Sind es die beiden Katheten, ist der Tangens dein Werkzeug. Immer gilt die gleiche Regel: bekannter Winkel, bekannte Seite, gesuchte Seite in einer Gleichung zusammenbringen.

Eine fehlende Seite finden

Kennst du die Hypotenuse $c$ und den spitzen Winkel $\alpha$, findest du die Gegenkathete $a$, die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt, indem du die Sinusformel umstellst. Aus $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ wird durch Malnehmen mit $c$ die Gleichung für $a$. Beispiel: $c = 10$ cm und $\alpha = 30°$ ergeben $a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ cm. Genauso läuft es mit den anderen beiden Funktionen: Für die Ankathete $b$ von $\alpha$ gilt $b = c \cdot \cos\alpha$, und kennst du $b$ und suchst $a$, hilft $a = b \cdot \tan\alpha$.

Einen fehlenden Winkel finden

Umgekehrt kennst du manchmal zwei Seiten und suchst den Winkel. Dann brauchst du die Umkehrfunktion, auf dem Taschenrechner als $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$ zu finden. Kennst du Gegenkathete und Ankathete, gilt $\tan\alpha = \frac{a}{b}$ und daraus $\alpha = \tan^{-1}\!\left(\frac{a}{b}\right)$. Für $a = 3$ und $b = 4$ ergibt das etwa $36{,}87°$.