Scheitelform der Parabel

Du kennst die Parabel als schöne Kurve, doch aus einer Gleichung wie $y = x^2 - 6x + 11$ ist ihr höchster oder tiefster Punkt kaum zu erkennen. Es gibt eine zweite Schreibweise, die genau diesen Punkt sofort verrät: die Scheitelform. Hast du sie einmal, brauchst du nichts mehr zu rechnen, du liest den Scheitel einfach ab.

Wie die Scheitelform aussieht

In der Scheitelform steht die Parabel als $y = a(x - d)^2 + e$. Die Zahl $a$ kennst du schon aus $y = a x^2 + c$: Sie streckt oder staucht die Kurve und entscheidet, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. Neu sind $d$ und $e$: Zusammen bilden sie den Scheitelpunkt $(d, e)$. Mehr Information brauchst du nicht, um zu wissen, wo die Parabel ihren Umkehrpunkt hat. Unser Beispiel vom Anfang heißt in Scheitelform $y = (x - 3)^2 + 2$, es ist dieselbe Parabel wie $y = x^2 - 6x + 11$, nur anders aufgeschrieben. Der Scheitel liegt also bei $(3, 2)$.

Warum ein Minus vor dem d?

Achte auf das Vorzeichen: In $y = (x - 3)^2$ steht ein Minus, und der Scheitel liegt bei $x = 3$, also rechts. Bei $y = (x + 4)^2$ steht ein Plus, das du als $x - (-4)$ lesen darfst, und der Scheitel liegt bei $x = -4$, also links. Der Term wird null, wenn die Klammer null wird, und genau dort sitzt der Scheitel. Der Wert $e$ dahinter hebt die Parabel um $e$ nach oben oder senkt sie ab.

Verschieben statt neu zeichnen

Die Scheitelform erzählt eine Geschichte in zwei Schritten: Starte mit der Grundparabel $y = a x^2$, deren Scheitel im Ursprung liegt. Dann schiebst du sie um $d$ nach rechts und um $e$ nach oben. Bei $y = 2(x - 1)^2 + 3$ nimmst du also die schmale Parabel $y = 2x^2$ und trägst ihren Scheitel nach $(1, 3)$. Sind $d$ oder $e$ negativ, geht die Verschiebung in die Gegenrichtung, also nach links oder nach unten. So wird aus einer Formel eine Bewegung, die du dir vorstellen kannst.