Satz des Pythagoras

Wie hoch reicht eine Leiter, die an der Wand lehnt? Wie viel kürzer ist der Weg quer über den Park statt außen herum? Solche Fragen beantwortet ein Satz, der rund 2500 Jahre alt ist und trotzdem in jedem Navi, jedem Bauplan und jedem Videospiel steckt: der Satz des Pythagoras.

Rechtwinklige Dreiecke erkennen

Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, also Dreiecke mit einem 90°-Winkel. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Pythagoras sagt: Die Quadrate über den beiden Katheten sind zusammen genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Als Formel: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist.

Die fehlende Seite berechnen

Kennst du beide Katheten, findest du die Hypotenuse in zwei Schritten: erst quadrieren und addieren, dann die Wurzel ziehen. Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig, √25 = 5 heißt nichts anderes als 5 · 5 = 25. Beispiel mit a = 3 und b = 4: Es gilt 3² + 4² = 9 + 16 = 25, also c = √25 = 5. Fehlt stattdessen eine Kathete, stellst du die Formel um: a² = c² − b². Bei c = 10 und b = 8 ist a² = 100 − 64 = 36, also a = √36 = 6. Seitenlängen sind nie negativ, deshalb zählt hier immer nur die positive Wurzel.

Pythagoras im Alltag

Sobald irgendwo ein rechter Winkel steckt, ist Pythagoras nicht weit. Die Leiter an der Wand bildet mit Boden und Wand ein rechtwinkliges Dreieck, die Leiter selbst ist die Hypotenuse. Der Weg quer über einen rechteckigen Park ist die Hypotenuse eines Dreiecks, dessen Katheten die Länge und die Breite des Parks sind. Und wer prüfen will, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist, misst an beiden Wänden ein Stück ab und dazu den Abstand zwischen den beiden Endpunkten. Von diesen drei Längen kommt die größte als c in die Formel: Passt a² + b² = c², sind es genau 90°.