Abstand zweier Punkte

Zwei Freunde wohnen in derselben Stadt: der eine an der Ecke $(1 | 2)$, der andere bei $(5 | 5)$. Wie weit ist es zwischen den beiden Wohnungen in der Luftlinie? Auf dem Stadtplan könntest du die Strecke mit dem Lineal nachmessen, aber es geht genauer: Aus den beiden Zahlenpaaren allein lässt sich der Abstand exakt ausrechnen. Alles, was du dafür brauchst, sind zwei Differenzen und der Satz des Pythagoras.

Das versteckte Dreieck

Verbinde die beiden Punkte mit einer geraden Strecke. Zeichne dann von $A(1 | 2)$ aus eine waagerechte Linie nach rechts und von $B(5 | 5)$ aus eine senkrechte Linie nach unten. Beide treffen sich bei $(5 | 2)$, und zusammen mit deiner Strecke entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten, die Seite gegenüber heißt Hypotenuse, und genau diese Hypotenuse ist deine Strecke. Die waagerechte Kathete ist so lang wie der Unterschied der x-Werte: $5 - 1 = 4$. Die senkrechte Kathete ist der Unterschied der y-Werte: $5 - 2 = 3$. Damit ist die Aufgabe auf etwas zurückgeführt, das du schon kennst: $4^2 + 3^2 = 25$, also ist die Strecke $\sqrt{25} = 5$ Kästchen lang.

Vorzeichen spielen keine Rolle

Was ist, wenn der zweite Punkt links oder unter dem ersten liegt? Dann wird eine Differenz negativ, doch das stört nicht: Eine Kathetenlänge ist nie negativ, es zählt nur der Betrag der Differenz, und beim Quadrieren verschwindet das Minuszeichen ohnehin. Für $P(-2 | 1)$ und $Q(3 | -3)$ ist $3 - (-2) = 5$ und $-3 - 1 = -4$, die Katheten sind also 5 und 4 Kästchen lang. Quadriert ergibt das $25 + 16 = 41$, der Abstand ist damit $\sqrt{41}$ und ungefähr 6,4 Kästchen. Du siehst: Nicht jeder Abstand ist eine glatte Zahl, oft bleibt eine Wurzel stehen, die du rundest.

Die Mitte einer Strecke

Oft willst du nicht nur wissen, wie weit zwei Punkte auseinanderliegen, sondern auch, wo genau die Mitte zwischen ihnen liegt: der faire Treffpunkt zweier Freunde, die Mitte einer Brücke, das Zentrum eines Spielfelds. Das ist sogar leichter als der Abstand, denn hier brauchst du keine Wurzel. Du bildest für jede Koordinate getrennt den Mittelwert, also die Summe der beiden Werte geteilt durch 2. Für $A(1 | 2)$ und $B(5 | 5)$ ist die x-Koordinate der Mitte $(1 + 5) : 2 = 3$ und die y-Koordinate $(2 + 5) : 2 = 3,5$. Der Mittelpunkt ist also $M(3 | 3{,}5)$.