Mathematik

Skalarprodukt

Zwei Vektoren multiplizieren und eine einzige Zahl bekommen. Diese Zahl verrät dir den Winkel zwischen ihnen.

Das brauchst du vorher

Vektoren entdecken Satz des Pythagoras Sinus, Kosinus, Tangens

kannst du addieren, das ist anschaulich: zwei Pfeile hintereinanderhängen. Aber wie multipliziert man zwei Pfeile? Die Antwort ist überraschend: Das Ergebnis ist gar kein Pfeil mehr, sondern eine einzige Zahl. Deshalb heißt die Rechnung Skalarprodukt, denn Skalar ist einfach das Wort für eine gewöhnliche Zahl ohne Richtung.

Die Rechnung selbst

Das Rechnen ist erstaunlich einfach: Du multiplizierst die $x$ -Werte, multiplizierst die $y$ -Werte und addierst beides. Für $\vec{a} = (3|4)$ und $\vec{b} = (2|1)$ ergibt das $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10$ . Fertig. Kein Pfeil, kein Betrag, nur die Zahl 10. Bei Vektoren im Raum kommt einfach ein dritter Summand dazu.

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Gleiche Koordinaten multiplizieren, dann alles addieren.

Null bedeutet senkrecht

Jetzt kommt der Grund, warum diese Rechnung so nützlich ist. Nimm $\vec{a} = (3|0)$ , einen Pfeil nach rechts, und $\vec{b} = (0|5)$ , einen Pfeil nach oben. Das Skalarprodukt ist $3 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 0$ . Das ist kein Zufall: Das Skalarprodukt ist genau dann 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Damit hast du einen Rechtwinkligkeitstest, der ohne Zeichnung und ohne Winkelmesser auskommt.

Koordinatensystem

P (3 | 2)

Lies den Punkt als Spitze eines Vektors, der im Ursprung startet. Setz ihn auf (4|2), das ist

\vec{a}

. Der Vektor

(-2|4)

steht senkrecht dazu, denn

4 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 0

. Setz den Punkt auf (−2|4) und schau dir den rechten Winkel zwischen den beiden gedachten Pfeilen an. Die Regel dahinter: Koordinaten tauschen und bei einer das Vorzeichen drehen ergibt immer einen senkrechten Vektor.

Der Winkel dazwischen

Senkrecht ist nur der Sonderfall. Allgemein hängt das Skalarprodukt mit dem Winkel zusammen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$ . Nach $\cos \alpha$ umgestellt bekommst du jeden Winkel zwischen zwei Vektoren, ohne etwas zu zeichnen. Und weil $\cos 90° = 0$ ist, fällt die Regel von eben automatisch mit ab.

\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|}

Oben die eine Zahl aus dem Skalarprodukt, unten die beiden Längen.

Auch das Vorzeichen sagt schon etwas, noch bevor du rechnest. Ist das Skalarprodukt positiv, zeigen die beiden Vektoren grob in dieselbe Richtung, der Winkel ist kleiner als 90°. Ist es negativ, zeigen sie eher voneinander weg, der Winkel ist größer als 90°. Ist es 0, stehen sie genau senkrecht.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Was ist das Ergebnis eines Skalarprodukts?

Berechne das Skalarprodukt von $\vec{a} = (2|5)$ und $\vec{b} = (4|1)$ .

Welcher Vektor steht senkrecht auf $\vec{a} = (3|2)$ ?

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, dann stehen sie … aufeinander.

Wie lang ist der Vektor $\vec{a} = (6|8)$ ?

Ordne jedem Skalarprodukt zu, was es über den Winkel aussagt.

Positiv

Null

Negativ

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