Rationale & irrationale Zahlen

Ein Rezept verlangt 3/4 Liter Milch, der Kassenbon zeigt 2,50 €, dein Zimmer ist 4 m breit. Alle diese Zahlen haben etwas gemeinsam: Du kannst sie als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Genau das nennt die Mathematik rational. Erstaunlicherweise gibt es Zahlen, bei denen das niemals gelingt, egal wie lange du suchst. Die Diagonale einer quadratischen Fliese mit 1 m Kantenlänge ist so eine Zahl.

Rational heißt: als Bruch schreibbar

Eine Zahl ist rational, wenn du sie als Bruch $\frac{a}{b}$ aus zwei ganzen Zahlen schreiben kannst, wobei der Nenner nicht 0 sein darf. Das gelingt viel öfter, als man denkt. Die 7 ist rational, denn 7 = 7/1. Auch −3 ist rational, denn −3 = −3/1. Und jede Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen lässt sich umschreiben: 0,25 sind 25/100, gekürzt 1/4, und 2,5 sind 5/2. Ganze Zahlen, negative Zahlen und die Kommazahlen aus dem Alltag sind also alle rational.

Was die Nachkommastellen verraten

Teilst du Zähler durch Nenner, passiert immer eines von zwei Dingen. Entweder bricht die Dezimalzahl ab, wie bei 1/4 = 0,25 oder 3/8 = 0,375. Oder eine Ziffernfolge wiederholt sich für immer, wie bei 1/3 = 0,333… oder 1/7 = 0,142857142857… Diese Wiederholung heißt Periode, und man schreibt sie mit einem Strich über den wiederkehrenden Ziffern. Beide Fälle gehören zu den rationalen Zahlen, denn auch 0,333… ist ein Bruch, nämlich 1/3.

Zahlen, die kein Bruch schafft

Und jetzt die Ausnahme. Die Diagonale unserer Fliese berechnest du mit dem Satz des Pythagoras, der in jedem rechtwinkligen Dreieck $a^2 + b^2 = c^2$ verlangt. Aus $1^2 + 1^2 = 2$ folgt: Die Diagonale ist $\sqrt{2}$, also 1,41421356… Diese Nachkommastellen brechen nie ab und werden nie periodisch. Schon die Griechen haben bewiesen, dass es keinen Bruch aus ganzen Zahlen gibt, der genau $\sqrt{2}$ ergibt. Solche Zahlen heißen irrational. Die berühmteste ist $\pi$ = 3,14159…, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. 22/7 = 3,142857… kommt $\pi$ nahe, trifft den Wert aber nicht, und kein anderer Bruch tut es.

Auf dem Zahlenstrahl stehen beide Sorten friedlich nebeneinander. Zwischen 1 und 2 liegen unendlich viele Brüche wie 3/2 oder 7/5, und mittendrin, bei 1,414…, sitzt $\sqrt{2}$. Zusammen ergeben rationale und irrationale Zahlen die reellen Zahlen, und die füllen den Zahlenstrahl lückenlos aus. Vorsicht bei einem verbreiteten Irrtum: Nicht jede Wurzel ist irrational. $\sqrt{9}$ ist genau 3 und damit rational, während $\sqrt{10}$ irrational ist.