Komplexe Zahlen

Jedes Mal, wenn eine Rechnung nicht aufging, wurde der Zahlbereich erweitert. $3 - 5$ hatte kein Ergebnis, bis es die negativen Zahlen gab. $1 : 3$ hatte keins, bis es die Brüche gab. $\sqrt{2}$ hatte keins, bis es die irrationalen Zahlen gab. Jetzt steht da $\sqrt{-1}$, und der Trick ist derselbe wie immer: Man gibt dem fehlenden Ergebnis einen Namen und schaut, ob man damit vernünftig rechnen kann.

Die Zahl i

Man setzt $i^2 = -1$. Damit ist $i$ die Zahl, deren Quadrat $-1$ ergibt, und sie heißt imaginäre Einheit. Der Name ist historisch und eigentlich unfair, denn $i$ ist genauso brauchbar wie jede andere Zahl. Mit ihr lässt sich jede Wurzel aus einer negativen Zahl schreiben: $\sqrt{-9} = 3i$, denn $(3i)^2 = 9 \cdot i^2 = -9$.

Zwei Teile, eine Zahl

Eine komplexe Zahl besteht aus einem gewöhnlichen Teil und einem Vielfachen von $i$, zum Beispiel $z = 3 + 4i$. Die 3 heißt Realteil, die 4 heißt Imaginärteil. Beide zusammen sind eine einzige Zahl, so wie 3,5 eine einzige Zahl ist und nicht zwei. Die Menge aller dieser Zahlen heißt $\mathbb{C}$, und die reellen Zahlen stecken vollständig darin: Sie sind einfach die komplexen Zahlen mit Imaginärteil 0.

Gerechnet wird, als wäre $i$ eine Variable, und am Ende wird jedes $i^2$ durch $-1$ ersetzt. Addieren heißt also: Realteile zusammen, Imaginärteile zusammen. $(3 + 4i) + (1 - 2i) = 4 + 2i$. Beim Multiplizieren gilt das Ausmultiplizieren wie bei Klammern: $(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2$. Die letzten beiden Schritte: $-6i + 4i = -2i$, und $-8i^2 = +8$. Es bleibt $11 - 2i$.

Die Zahlenebene

Reelle Zahlen liegen auf einer Zahlengeraden. Für komplexe Zahlen reicht eine Linie nicht, denn sie haben zwei Angaben. Also nimmt man eine Ebene: Der Realteil geht nach rechts, der Imaginärteil nach oben. Diese Darstellung heißt Gaußsche Zahlenebene, und jede komplexe Zahl ist darin ein Punkt. Der Abstand vom Ursprung heißt Betrag und wird mit Pythagoras berechnet: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Wozu das gut ist

Mit komplexen Zahlen hat jede quadratische Gleichung eine Lösung. $x^2 + 1 = 0$ hat reell keine, komplex aber zwei: $x = i$ und $x = -i$. Wenn die Diskriminante negativ ist, zieht man einfach die Wurzel aus dem Betrag und schreibt ein $i$ dazu. Das ist kein Rechentrick ohne Nutzen: Wechselstrom, Signalverarbeitung und Quantenphysik rechnen mit komplexen Zahlen, weil sich Schwingungen darin viel einfacher beschreiben lassen.