Periodische Dezimalzahlen

Tippst du 1 : 4 in den Taschenrechner, erscheint 0,25 und die Sache ist erledigt. Tippst du 1 : 3, füllt sich das Display mit Dreien: 0,3333333. Beide Brüche sehen gleich harmlos aus, trotzdem verhält sich der eine völlig anders als der andere. Das Schöne daran: Du kannst schon am Nenner erkennen, welcher Fall eintritt, bevor du überhaupt rechnest.

Der Bruchstrich ist eine Division

Jeder Bruch ist eine Divisionsaufgabe: 1/4 heißt 1 geteilt durch 4. Rechnest du das schriftlich, holst du dir Nullen dazu. Aus der 1 werden 10 Zehntel, geteilt durch 4 sind das 2 Zehntel und es bleibt Rest 2 Zehntel. Diese 2 Zehntel sind 20 Hundertstel, geteilt durch 4 sind das 5 Hundertstel und es bleibt Rest 0. Kein Rest bedeutet: Die Rechnung ist zu Ende, und dort steht 0,25. Bei 1 : 3 passiert genau das nie. 10 Zehntel geteilt durch 3 sind 3 Zehntel, Rest 1 Zehntel. Aus diesem Rest werden wieder 10 Hundertstel, wieder 3, wieder Rest 1. Derselbe Rest kehrt zurück, also kehrt auch dieselbe Ziffer zurück, und zwar endlos.

Der Strich über der Periode

Endlose Ziffernfolgen schreibt man nicht mit Pünktchen, sondern mit einem Strich. Die Ziffern, die sich wiederholen, heißen Periode, und der Strich steht genau über ihnen: Aus 0,3333... wird $0{,}\overline{3}$. Bei 1/7 = 0,142857142857... wiederholen sich sechs Ziffern, der Strich steht also über 142857. Manchmal startet die Wiederholung erst später: 1/6 ergibt 0,1666..., hier gehört die 1 noch nicht dazu, der Strich steht nur über der 6, also $0{,}1\overline{6}$. Solche Ziffern vor der Periode heißen Vorperiode.

Welche Nenner gehen glatt auf?

Ein Bruch ergibt genau dann eine abbrechende Dezimalzahl, wenn er sich auf eine Zehnerpotenz im Nenner erweitern lässt, also auf 10, 100, 1000 und so weiter. Und diese Zahlen bestehen nur aus Zweien und Fünfen: 10 = 2 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5. Daraus folgt die Regel: Ein vollständig gekürzter Bruch bricht ab, wenn im Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 stecken. Bei 8 = 2 · 2 · 2 klappt das, denn 1/8 = 125/1000 = 0,125. Bei 20 = 2 · 2 · 5 auch, denn 1/20 = 5/100 = 0,05. Steckt dagegen eine andere Primzahl im Nenner, etwa die 3 in der 6 oder die 7 in der 14, dann lässt sich der Nenner nie zu einer Zehnerpotenz erweitern, und die Zahl wird periodisch. Wichtig ist dabei das Kürzen: 6/12 sieht wegen der 12 nach Periode aus, gekürzt ist es aber 1/2 und damit glatte 0,5.