Ableitung: erste Schritte

Die mittlere Änderungsrate sagt dir, wie steil es zwischen zwei Punkten im Schnitt zugeht. Doch was, wenn du wissen willst, wie schnell sich etwas in einem einzigen Augenblick ändert, zum Beispiel deine Geschwindigkeit genau jetzt? Dafür brauchst du die Steigung in einem einzelnen Punkt. Genau das leistet die Ableitung.

Von der Sekante zur Tangente

Nimm einen festen Punkt auf dem Graphen und einen zweiten daneben. Die Gerade durch beide ist die Sekante, ihre Steigung kennst du schon. Jetzt schiebst du den zweiten Punkt immer näher an den ersten heran. Die Sekante kippt dabei und geht in eine Gerade über, die den Graphen an dieser Stelle berührt und dort genau dieselbe Steigung hat wie er: die Tangente.

Momentane Änderungsrate

Je näher der zweite Punkt kommt, desto kleiner wird der Abstand $h$ zwischen den Stellen. Der Höhenunterschied geteilt durch $h$ heißt Differenzenquotient, er misst die mittlere Steigung über genau diesen Abstand. Lässt du $h$ gegen 0 gehen, wird daraus die Steigung in genau diesem Punkt. Diese Steigung heißt momentane Änderungsrate und ist der Wert der Ableitung an der Stelle.

Die Steigung als neue Funktion

Für $f(x) = x^2$ kannst du den Grenzwert selbst nachrechnen: $(x + h)^2 - x^2 = 2xh + h^2$, und geteilt durch $h$ bleibt $2x + h$. Schrumpft $h$ gegen 0, bleibt nur $2x$ stehen. Die Steigung an der Stelle $x$ ist also immer $2x$, man schreibt $f'(x) = 2x$. An der Stelle $x = 3$ ist die Steigung damit $6$, an der Stelle $x = 0$ ist sie $0$, dort liegt der tiefste Punkt der Parabel. Die Ableitung ist selbst wieder eine Funktion.