Mittlere Änderungsrate

Wenn du in 2 Stunden 120 km fährst, weißt du sofort: im Schnitt waren das 60 km/h. Ob du zwischendurch gerast oder gebummelt bist, spielt für diesen Durchschnitt keine Rolle. Genau diese Idee steckt hinter der mittleren Änderungsrate: Wie stark ändert sich eine Größe im Schnitt, während eine andere um eine Einheit wächst?

Der Differenzenquotient

Du nimmst zwei Stellen $a$ und $b$ auf der x-Achse und schaust, wie sich die Funktionswerte dort unterscheiden. Die Änderung der Höhe teilst du durch die Änderung von x. Das Ergebnis sagt, wie viel y sich im Schnitt pro Einheit x ändert. Die beiden Stellen müssen verschieden sein, denn sonst stünde unten im Bruch eine Null.

Das ist die Steigung einer Sekante

Zeichne die zwei Punkte $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$ in den Graphen und verbinde sie mit einer Geraden. Diese Verbindungsgerade heißt Sekante. Der Differenzenquotient ist nichts anderes als ihre Steigung, also der bekannte Höhenunterschied geteilt durch die waagerechte Breite.

Ein Beispiel zum Mitrechnen

Nimm $f(x) = x^2$ und die Stellen $a = 1$ und $b = 3$. Es ist $f(1) = 1$ und $f(3) = 9$. Damit ist die mittlere Änderungsrate $\frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$. Zwischen $x = 1$ und $x = 3$ steigt die Funktion also im Schnitt um 4 Einheiten, während x um 1 wächst.