Ableitungsregeln

Für $f(x) = x^2$ hast du den Grenzwert schon von Hand ausgerechnet und $f'(x) = 2x$ erhalten. Das für jede neue Funktion zu wiederholen, wäre Fleißarbeit ohne Ende. Zum Glück muss das niemand tun: Der Grenzwert ist ein für alle Mal für ganze Familien von Funktionen bestimmt worden. Übrig bleiben drei kurze Regeln, mit denen du einen Ausdruck wie $4x^3 - 5x^2 + 6x - 9$ in einer einzigen Zeile ableitest.

Die Potenzregel

Die wichtigste Regel gilt für alle Potenzen $x^n$. Sie lautet: Der Exponent wandert nach vorn als Vorfaktor, und der Exponent selbst wird um 1 kleiner. Aus $x^3$ wird also $3x^2$, aus $x^5$ wird $5x^4$, und aus $x^2$ wird $2x^1$, also $2x$. Das passt genau zu dem Ergebnis, das du für die Parabel schon kennst. Auch $x$ allein folgt der Regel, denn $x = x^1$ wird zu $1 \cdot x^0 = 1$: Die Gerade $y = x$ hat überall die Steigung 1.

Vorfaktoren und Summen

Steht vor der Potenz eine Zahl, bleibt sie beim Ableiten einfach stehen. Bei $f(x) = 5x^3$ leitest du $x^3$ zu $3x^2$ ab und behältst die 5, das ergibt $f'(x) = 15x^2$. Das ist die Faktorregel, und sie ist anschaulich: Ein Graph, der fünfmal so hoch gestreckt ist, verläuft an jeder Stelle auch fünfmal so steil. Besteht die Funktion aus mehreren Summanden, hilft die Summenregel: Du leitest jeden Term einzeln ab und setzt die Ergebnisse mit Plus oder Minus wieder zusammen. Aus $x^3 + x^2$ wird damit $3x^2 + 2x$.

Bleiben die Zahlen ohne $x$. Der Graph von $f(x) = 7$ ist eine waagerechte Gerade auf Höhe 7, sie steigt nirgends und fällt nirgends. Ihre Steigung ist überall 0, also ist $f'(x) = 0$. Deshalb verschwindet in $x^2 + 7$ die 7 beim Ableiten: Die 7 schiebt die Parabel nur um 7 Einheiten nach oben, und Verschieben ändert die Steilheit an keiner Stelle. Auch $x^2 + 100$ hat also die Ableitung $2x$.

Ein Polynom Schritt für Schritt

Jetzt alles zusammen an $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 6x - 9$. Term für Term: $4x^3$ wird zu $4 \cdot 3x^2 = 12x^2$, $-5x^2$ wird zu $-5 \cdot 2x = -10x$, aus $6x$ wird $6$, und die $-9$ fällt weg. Zusammengesetzt ergibt das $f'(x) = 12x^2 - 10x + 6$. Beachte, wie der Grad um 1 sinkt: Aus einer Funktion dritten Grades wird eine Ableitung zweiten Grades. Aus $f'$ liest du danach jede einzelne Steigung ab: Setzt du eine Stelle ein, bekommst du die Steigung genau dort. Umgekehrt findest du mit $f'(x) = 0$ die Stellen, an denen der Graph waagerecht verläuft.