Summen & Reihen

Die Geschichte wird gern erzählt: Ein Lehrer wollte seine Klasse beschäftigen und ließ alle Zahlen von 1 bis 100 addieren. Der junge Carl Friedrich Gauß war nach kurzer Zeit fertig und hatte 5050. Er hatte nicht schneller gerechnet als die anderen, sondern anders. Und dieser andere Blick ist ein Werkzeug, das dir bei vielen Summen Arbeit spart.

Der Trick mit den Paaren

Schreib die Zahlen einmal vorwärts und darunter rückwärts: 1, 2, 3, … , 100 und 100, 99, 98, … , 1. Jede Spalte ergibt zusammen 101, und es gibt 100 Spalten, also insgesamt 10.100. Weil du jede Zahl zweimal gezählt hast, teilst du durch 2 und bekommst 5050. Aus dieser Idee wird eine Formel, die für jedes Ende funktioniert.

Arithmetische Reihen allgemein

Der Trick funktioniert bei jeder Folge, bei der immer dasselbe dazukommt. Ein Beispiel: In der ersten Reihe eines Theaters stehen 12 Stühle, in jeder weiteren einer mehr, insgesamt 20 Reihen. Die letzte Reihe hat 31 Stühle. Erste plus letzte macht 43, das gilt für jedes Paar, und bei 20 Reihen sind das 10 Paare: $10 \cdot 43 = 430$ Stühle.

Als Formel: Anzahl mal die Summe aus erstem und letztem Glied, geteilt durch 2. Du brauchst also nur drei Angaben und musst kein einziges Zwischenglied kennen. Genau das macht diese Formel so bequem, sobald es um viele Summanden geht.

Wenn multipliziert wird

Bei geometrischen Folgen kommt nicht immer dasselbe dazu, sondern es wird immer mit demselben Faktor multipliziert. Ein bekanntes Beispiel: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$. Das ist genau eins weniger als 32, und 32 ist die nächste Zweierpotenz. Diese Beobachtung gilt allgemein: Die Summe der Zweierpotenzen von $2^0$ bis $2^n$ ist immer $2^{n+1} - 1$.

Für das Aufschreiben langer Summen gibt es eine Kurzschrift, das Summenzeichen. $\sum_{k=1}^{5} k$ heißt: Setz für $k$ nacheinander 1 bis 5 ein und addiere alles, also $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Unten steht, wo es losgeht, oben, wo es aufhört, und dahinter, was addiert werden soll. Mehr steckt nicht dahinter.