Funktionen untersuchen

Die einzelnen Werkzeuge kennst du jetzt: Nullstellen, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte. In diesem Thema werden sie zu einem Ablauf zusammengesetzt. Der Nutzen ist konkret: Am Ende kannst du eine Funktion, die du noch nie gesehen hast, sauber skizzieren, ohne eine einzige Wertetabelle mit dreißig Einträgen zu füllen.

Der Plan

Die Reihenfolge ist nicht beliebig, sie geht vom Groben zum Feinen. Erstens der Definitionsbereich: Wo existiert die Funktion überhaupt? Zweitens das Verhalten am Rand: Wohin läuft die Kurve ganz weit links und ganz weit rechts? Drittens die Schnittpunkte mit den Achsen. Viertens die Extrempunkte über $f'$. Fünftens die Wendepunkte über $f''$. Und sechstens setzt du alles zu einer Skizze zusammen.

Ein Blick lohnt sich vorab: die Symmetrie. Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wie bei $x^4 - 3x^2$. Kommen nur ungerade vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung, wie bei $x^3 - 4x$. Das halbiert deine Arbeit, denn was du für positive $x$ herausfindest, gilt gespiegelt auch für negative.

Ein Beispiel von Anfang bis Ende

Nimm $f(x) = x^3 - 3x$. Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen, denn es gibt weder Bruch noch Wurzel. Nur ungerade Exponenten, also Punktsymmetrie zum Ursprung. Der Grad ist ungerade und der Leitkoeffizient positiv, also kommt die Kurve von links unten und läuft nach rechts oben.

Nullstellen: $x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0$ liefert $x = 0$ und $x = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1,73$. Extrempunkte: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ ergibt $x = \pm 1$. Mit $f''(x) = 6x$ ist $f''(1) = 6 > 0$, also Tiefpunkt bei $(1|-2)$, und $f''(-1) = -6 < 0$, also Hochpunkt bei $(-1|2)$. Wendepunkt: $6x = 0$ ergibt $x = 0$, und dort ist $f(0) = 0$.

Damit ist die Kurve festgelegt, ohne dass du einen einzigen weiteren Punkt berechnen musst: Sie kommt von unten, steigt bis zum Hochpunkt $(-1|2)$, fällt durch den Ursprung bis zum Tiefpunkt $(1|-2)$ und steigt dann für immer. Der Wendepunkt im Ursprung ist genau die Stelle, an der sie am steilsten fällt.