Produkt- & Kettenregel

Mit der Potenzregel und der Summenregel kommst du bei Polynomen weit. Aber $f(x) = x^2 \cdot \sin x$ ist ein Produkt zweier verschiedener Funktionen, und $f(x) = (3x + 1)^5$ ist eine Funktion, die in einer anderen steckt. Für beide Fälle gibt es genau eine Regel, und sobald du sie kennst, kannst du fast alles ableiten, was dir begegnet.

Warum es nicht einfach geht

Der naheliegende Gedanke wäre: einfach beide Teile getrennt ableiten und multiplizieren. Das ist falsch, und du kannst es an einem Beispiel sehen, bei dem du das Ergebnis schon kennst. Nimm $f(x) = x \cdot x = x^2$. Die richtige Ableitung ist $2x$. Getrennt abgeleitet und multipliziert käme aber $1 \cdot 1 = 1$ heraus, und das stimmt offensichtlich nicht.

Die Produktregel

Bei einem Produkt $u \cdot v$ leitest du erst den einen Faktor ab und lässt den anderen stehen, dann umgekehrt, und addierst beides. Merken lässt sich das als Spruch: erst den ersten ableiten mal zweiten stehen lassen, plus ersten stehen lassen mal zweiten ableiten.

Die Probe an $f(x) = x \cdot x$ funktioniert jetzt: $u = x$, $v = x$, also $u' = 1$ und $v' = 1$. Eingesetzt ergibt das $1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$, und das ist genau die bekannte Ableitung von $x^2$. Ein echtes Beispiel: $f(x) = x^2 \cdot \sin x$ hat die Ableitung $2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$.

Die Kettenregel

Bei $f(x) = (3x + 1)^5$ steckt eine Funktion in der anderen. Innen ist $3x + 1$, außen ist das Hochfünf. Man könnte die Klammer ausmultiplizieren, aber das wären sechs Terme Arbeit für eine Aufgabe, die in einer Zeile geht. Die Kettenregel sagt: Leite die äußere Funktion ab, lass die innere dabei unangetastet stehen, und multipliziere am Ende mit der Ableitung der inneren.

Für $f(x) = (3x + 1)^5$ heißt das: Die äußere Ableitung ist $5 \cdot (3x + 1)^4$, die innere Ableitung von $3x + 1$ ist 3. Zusammen also $f'(x) = 15 \cdot (3x + 1)^4$. Der Faktor 3 am Ende ist der Schritt, der am häufigsten vergessen wird, und deshalb heißt er auch ausdrücklich Nachdifferenzieren.