Mathematik

Integral: Fläche unter dem Graphen

Aus vielen schmalen Streifen eine ganze Fläche aufsummieren: so misst das Integral, was unter einem Graphen liegt.

Stell dir vor, ein Auto fährt los und wird immer schneller. Wie weit ist es nach zehn Sekunden gekommen? Wenn du nur die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt kennst, steckt die Antwort in der Fläche unter dem Graphen. Genau darum geht es beim Integrieren: aus vielen kleinen Beiträgen ein Ganzes aufsummieren.

Was bedeutet die Fläche unter dem Graphen?

Zeichne eine Funktion $f(x)$ in ein Koordinatensystem und schau dir den Streifen an, der zwischen dem Graphen und der x-Achse liegt. Dieser Streifen hat einen Flächeninhalt, und dieser Flächeninhalt ist die zentrale Größe. Bei einer waagerechten Geraden $f(x) = 3$ ist die Fläche einfach ein Rechteck: Breite mal Höhe. Bei einer schrägen oder gebogenen Kurve ist die Fläche krumm berandet, und wir brauchen einen Trick, um sie zu bestimmen.

Schmale Streifen aufsummieren

Der Trick ist alt und einfach: Zerlege die Fläche in viele schmale, senkrechte Streifen. Jeder Streifen ist fast ein Rechteck mit der Breite $\Delta x$ und der Höhe $f(x)$ . Sein Flächeninhalt ist ungefähr $f(x) \cdot \Delta x$ . Wenn du alle diese Rechtecke aufsummierst, bekommst du eine gute Näherung für die Gesamtfläche. Je schmaler die Streifen, desto genauer wird die Näherung.

A \approx \sum_i f(x_i)\,\Delta x

Viele schmale Rechtecke zusammen nähern die Fläche unter dem Graphen an.

Koordinatensystem

y = 1x + 1Start bei 1, pro Schritt nach rechts +1

Probier es aus: Verändere die Gerade und stell dir vor, wie schmale Streifen die Fläche zwischen ihr und der x-Achse füllen.

Vom Summenzeichen zum Integral

Jetzt lassen wir die Streifen unendlich schmal werden. Aus dem Summenzeichen $\sum$ wird das Integralzeichen $\int$ , und aus $\Delta x$ wird $dx$ . Die beiden Zahlen $a$ und $b$ am Integralzeichen sagen, wo die Fläche beginnt und wo sie endet, sie heißen die Integrationsgrenzen. Man liest den Ausdruck als Integral von $f(x)$ von $a$ bis $b$ .

\int_a^b f(x)\,dx

Das bestimmte Integral misst die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse von a bis b.

Was das Integral misst

Liegt der Graph über der x-Achse, zählt die Fläche positiv. Liegt er darunter, zählt sie negativ. Das Integral misst also eine vorzeichenbehaftete Fläche. Für eine konstante Geschwindigkeit bedeutet das Integral die zurückgelegte Strecke, denn Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit, und das ist genau die Rechteckfläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen. Wird das Auto wie am Anfang immer schneller, ist die Fläche kein Rechteck mehr, aber die Bedeutung bleibt: Die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen ist die gefahrene Strecke.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Was misst das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ ?

Die Funktion $f(x) = 4$ ist eine waagerechte Gerade. Wie groß ist die Fläche unter ihr von $x = 1$ bis $x = 5$ ?

Wie groß ist die Fläche unter der Geraden $f(x) = x$ von $x = 0$ bis $x = 3$ ?

Bring die Schritte in die richtige Reihenfolge, wie aus schmalen Streifen das Integral entsteht.

1Jeden Streifen als Rechteck $f(x) \cdot \Delta x$ nähern
2Die Fläche in viele schmale, senkrechte Streifen zerlegen
3Die Streifen unendlich schmal werden lassen, aus der Summe wird das Integral
4Alle Rechtecke aufsummieren

Wie groß ist die Fläche unter der Geraden $f(x) = 2x$ von $x = 0$ bis $x = 5$ ?

Liegt der Graph unter der x-Achse, zählt seine Fläche im Integral … .

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