Grenzwerte anschaulich

Stell dir vor, eine Wand ist 1 m entfernt und du gehst jedes Mal die Hälfte der restlichen Strecke: erst 50 cm, dann 25 cm, dann 12,5 cm und so weiter. Die Wand erreichst du nie ganz, aber du kommst ihr beliebig nahe. Genau dieses Verhalten beschreibt ein Grenzwert: den Wert, auf den etwas zusteuert, auch wenn es dort nie ankommt.

Sich einem Wert annähern

Betrachte die Zahlen $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$, als Dezimalzahlen also 1; 0,5; etwa 0,333; 0,25; ... Sie werden immer kleiner und drücken sich an die 0. Keines der Glieder ist jemals genau 0, aber sie kommen der 0 so nah, wie du nur willst. Man sagt: der Grenzwert dieser Folge ist 0.

Von beiden Seiten

Oft fragt man, wohin eine Funktion strebt, wenn $x$ gegen eine bestimmte Stelle geht. Für die Stelle 2 schreibt man das kurz als $x \to 2$, gesprochen: x geht gegen 2. Nähere dich der Stelle von links mit kleineren Werten und von rechts mit größeren. Landen beide Wege bei derselben Höhe, ist das der Grenzwert an dieser Stelle, ganz egal, was direkt am Punkt selbst passiert.

Verhalten im Unendlichen

Man kann auch fragen, was passiert, wenn $x$ immer größer wird, also gegen unendlich läuft. Bei $\frac{1}{x}$ wird der Bruch immer winziger und nähert sich der 0. Der Graph schmiegt sich an die x-Achse an, ohne sie zu berühren. Solche Linien, denen sich eine Kurve immer weiter annähert, nennt man Asymptoten.