Tangente aufstellen

Die Ableitung sagt dir, wie steil eine Kurve an einer bestimmten Stelle ist. Das ist eine Zahl. Oft willst du aber mehr: die Gerade, die die Kurve genau dort berührt und dieselbe Steigung hat. Sie heißt Tangente, und sie ist die beste gerade Näherung an die Kurve in der Nähe dieses Punktes. Wer eine Tangente aufstellen kann, kann auch Wachstum fortschreiben oder Kurven aneinanderfügen, ohne dass es an der Nahtstelle knickt.

Drei Schritte, immer dieselben

Eine Gerade hat die Form $y = mx + b$, du brauchst also zwei Zahlen. Die Steigung $m$ bekommst du aus der Ableitung: $m = f'(x_0)$. Den Achsenabschnitt $b$ bekommst du, indem du den Berührpunkt einsetzt, denn die Tangente muss durch ihn hindurchgehen. Und der Berührpunkt selbst ist $(x_0 | f(x_0))$.

Ein Beispiel: $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 3$. Erstens der Berührpunkt: $f(3) = 9$, also $(3|9)$. Zweitens die Steigung: $f'(x) = 2x$, also $f'(3) = 6$. Drittens einsetzen: $9 = 6 \cdot 3 + b$, daraus folgt $b = -9$. Die Tangente ist $y = 6x - 9$.

Diese Kurzform spart das Auflösen nach $b$. Setz die drei Zahlen ein und multipliziere aus, dann steht die Gerade fertig da. Für das Beispiel: $y = 6 \cdot (x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$. Beide Wege führen zum selben Ergebnis, nimm den, der dir leichter fällt.

Die Normale

Manchmal ist nicht die anschmiegende Gerade gefragt, sondern die senkrecht dazu. Sie heißt Normale und hat die Steigung $-\frac{1}{m}$. Aus einer Tangentensteigung 6 wird also $-\frac{1}{6}$. Der Rest der Rechnung ist identisch: derselbe Punkt, dieselben drei Schritte, nur eine andere Steigung.