Hoch- & Tiefpunkte

Fahr mit dem Rad über eine Kuppe: Erst geht es bergauf, dann für einen kurzen Moment eben, dann bergab. Genau dieser eine Moment, in dem es weder aufwärts noch abwärts geht, ist der höchste Punkt der Strecke. Ein Funktionsgraph macht es genauso: Dort, wo er umkehrt, verläuft er für einen Augenblick waagerecht. Solche Umkehrstellen heißen Hochpunkte und Tiefpunkte, zusammen Extrempunkte, und sie tragen oft die eigentlich interessante Information: die größte Höhe eines Wurfs, die niedrigsten Kosten, der größte Gewinn.

Am Umkehrpunkt ist es waagerecht

Die Ableitung $f'(x)$ misst die Steigung an der Stelle $x$. Solange der Graph steigt, ist sie positiv, solange er fällt, ist sie negativ. Beim Umkehren muss sie also von positiv nach negativ wechseln oder umgekehrt, und dazwischen liegt der einzige Wert, der weder positiv noch negativ ist: die 0. Legst du dort eine Tangente an den Graphen, verläuft sie waagerecht, ihre Steigung ist genau 0. Bei $f(x) = x^2$ mit $f'(x) = 2x$ passiert das bei $x = 0$, und dort sitzt der tiefste Punkt der Parabel. Bei der nach unten geöffneten Parabel $f(x) = -x^2$ mit $f'(x) = -2x$ ist die Ableitung ebenfalls bei $x = 0$ null, nur ist es dort der höchste Punkt. Die $x$-Koordinate einer solchen Umkehrstelle heißt Extremstelle, der Punkt samt Höhe heißt Extrempunkt.

Kandidaten ausrechnen

Ein Beispiel: $f(x) = x^2 - 6x + 11$. Die Ableitung bildest du Term für Term, jede Potenz wird um eins kleiner und ihr alter Exponent kommt als Faktor davor. Aus $x^2$ wird also $2x$, aus $-6x$ wird $-6$, und die reine Zahl $11$ fällt weg, denn eine Konstante ändert nichts an der Steigung. Insgesamt: $f'(x) = 2x - 6$. Nun setzt du die Ableitung null, $2x - 6 = 0$ ergibt $x = 3$. Den zugehörigen Höhenwert bekommst du, indem du $x = 3$ in die ursprüngliche Funktion einsetzt: $f(3) = 9 - 18 + 11 = 2$. Der Kandidat ist also der Punkt $(3,\ 2)$. Hat die Gleichung $f'(x) = 0$ mehrere Lösungen, bekommst du mehrere Kandidaten, und jeder wird einzeln geprüft.

Hoch oder tief? Das Vorzeichen entscheidet

Eine Nullstelle der Ableitung verrät noch nicht, ob der Graph dort oben oder unten umkehrt. Das sagt dir das Vorzeichen von $f'$ links und rechts davon. Wechselt es von plus nach minus, steigt der Graph erst und fällt dann, das ist ein Hochpunkt. Wechselt es von minus nach plus, fällt er erst und steigt dann, das ist ein Tiefpunkt. Teste es an unserem Beispiel $f'(x) = 2x - 6$: Bei $x = 2$ ist $f'(2) = -2$, der Graph fällt dort. Bei $x = 4$ ist $f'(4) = 2$, dort steigt er. Von minus nach plus, bei $x = 3$ liegt also ein Tiefpunkt.

Es gibt einen Fall, in dem die Ableitung null ist und der Graph trotzdem nicht umkehrt. Bei $f(x) = x^3$ ist $f'(x) = 3x^2$, und $3x^2 = 0$ liefert $x = 0$. Setzt du aber Testwerte ein, bekommst du $f'(-1) = 3$ und $f'(1) = 3$, beide Male positiv. Der Graph legt bei $x = 0$ nur eine kurze waagerechte Pause ein und steigt danach weiter, so eine Stelle heißt Sattelpunkt. Deshalb ist $f'(x) = 0$ nur die Eintrittskarte: Erst der Vorzeichenwechsel entscheidet, ob wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.