Wendepunkte & Krümmung

Bei einer Epidemie kommt irgendwann ein Tag, an dem die Zahl der neuen Fälle nicht mehr weiter steigt, sondern zum ersten Mal kleiner wird als am Vortag. Die Gesamtzahl wächst weiter, aber langsamer. Genau dieser Tag ist mathematisch ein Wendepunkt, und in den Nachrichten ist es der Moment, auf den alle warten. Ein Wendepunkt sagt nichts über hoch oder tief aus, sondern über die Änderung der Krümmung.

Links- und Rechtskrümmung

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad auf dem Graphen entlang, von links nach rechts. Manchmal musst du den Lenker nach links halten, manchmal nach rechts. Bei einer nach oben geöffneten Parabel hältst du die ganze Zeit nach links, sie ist überall linksgekrümmt. Bei einer nach unten geöffneten hältst du überall nach rechts. Erst wenn du den Lenker unterwegs einmal umlegen musst, gibt es einen Wendepunkt, nämlich genau an der Stelle des Umlegens.

Die zweite Ableitung

Die erste Ableitung $f'$ misst die Steigung. Wenn du sie noch einmal ableitest, bekommst du $f''$, und die misst, wie sich die Steigung ändert. Ist $f''$ positiv, wird die Steigung größer, die Kurve ist linksgekrümmt. Ist $f''$ negativ, wird die Steigung kleiner, die Kurve ist rechtsgekrümmt. Und ein Wechsel dazwischen bedeutet, dass $f''$ das Vorzeichen wechselt, also unterwegs durch null geht.

Der Rechenweg

Ein Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x^2$. Erst zweimal ableiten: $f'(x) = 3x^2 - 6x$ und $f''(x) = 6x - 6$. Dann $f''$ null setzen: $6x - 6 = 0$ ergibt $x = 1$. Zur Bestätigung noch einmal ableiten: $f'''(x) = 6$, und das ist nicht null. Also liegt bei $x = 1$ wirklich ein Wendepunkt. Die Höhe bekommst du wie immer aus der Ausgangsfunktion: $f(1) = 1 - 3 = -2$, der Wendepunkt ist also $(1|-2)$.

Der Ablauf ist derselbe wie bei Hoch- und Tiefpunkten, nur eine Ableitung weiter. Dort setzt du $f'$ null und prüfst mit $f''$. Hier setzt du $f''$ null und prüfst mit $f'''$. Wenn du dir diese Parallele merkst, brauchst du nur ein Schema statt zwei.