Logarithmen

Du weißt, dass $2^3 = 8$ ist. Doch was, wenn die Frage andersherum lautet: Mit welcher Hochzahl wird aus $2$ die Zahl $8$? Diese Umkehrung des Potenzierens ist der Logarithmus. Er beantwortet genau die Fragen, die im Alltag oft die spannenderen sind: Wie viele Verdopplungen liegen zwischen $1$ und $1024$? Über wie viele Zehnerpotenzen reden wir hier eigentlich?

Die umgekehrte Frage

Der Logarithmus $\log_b(x)$ fragt: Mit welcher Hochzahl wird aus der Basis $b$ die Zahl $x$? Weil $2^3 = 8$ ist, gilt $\log_2(8) = 3$. Die Basis $b$ steht klein unten, die Zahl $x$ in der Klammer, und heraus kommt der gesuchte Exponent. Dabei ist die Basis immer positiv und ungleich $1$, und $x$ muss größer als $0$ sein: Eine Potenz einer positiven Basis wird nie $0$ und nie negativ. Potenzieren und Logarithmieren sind zwei Seiten derselben Beziehung, sie machen sich gegenseitig rückgängig.

Die Logarithmengesetze

Logarithmen verwandeln Multiplikation in Addition, das war einst ihr Zweck beim Rechnen. Ein Produkt in der Klammer wird zur Summe zweier Logarithmen: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$. Eine Potenz in der Klammer wird zum Faktor davor: $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$. So schrumpft eine große Multiplikation zu einer bequemen Addition.

Der Zehnerlogarithmus

Besonders oft nutzt man die Basis $10$, den Zehnerlogarithmus. Bei Zehnerpotenzen zählt er schlicht die Nullen: $\log_{10}(1000) = 3$, weil $1000$ drei Nullen hat und $10^3 = 1000$ ist. Genau darauf beruhen Skalen wie die Magnitude von Erdbeben oder der pH-Wert: Ein Schritt auf der Skala steht dort für den Faktor $10$, beim Erdbeben etwa für den zehnfachen Ausschlag am Seismometer. Der Logarithmus macht solche riesigen Spannen wieder handlich.