Mathematik

Gebrochenrationale Funktionen

Wenn das $x$ im Nenner steht, gibt es Stellen, an denen die Funktion nicht existiert. Und Linien, denen sich der Graph nur nähert.

Das brauchst du vorher

Hyperbel & Kehrwertfunktion Bruchgleichungen Grenzwerte anschaulich

Solange $x$ nur oben steht, ist jede Zahl erlaubt. Sobald es im Nenner auftaucht, wird es interessant: $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ hat für $x = 2$ kein Ergebnis, denn dann stünde eine 0 unter dem Bruchstrich. Diese eine verbotene Stelle prägt den ganzen Graphen, und genau darum geht es hier.

Der Definitionsbereich

Als erstes fragst du bei jeder solchen Funktion: Für welche $x$ wird der Nenner null? Diese Zahlen sind ausgeschlossen, alles andere ist erlaubt. Bei $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 9}$ setzt du $x^2 - 9 = 0$ und bekommst $x = 3$ und $x = -3$ . Der Definitionsbereich ist deshalb alle reellen Zahlen außer $-3$ und 3.

Die senkrechte Asymptote

Was passiert in der Nähe der verbotenen Stelle? Nimm $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ und setz Zahlen ein, die immer näher an 2 heranrücken. Bei $x = 2,1$ ist der Nenner 0,1 und der Wert 10. Bei $x = 2,01$ ist der Wert schon 100, bei $x = 2,001$ ganze 1000. Je kleiner der Nenner, desto größer der Bruch. Der Graph schießt also senkrecht nach oben, ohne die Stelle $x = 2$ jemals zu erreichen.

Von links passiert dasselbe mit umgekehrtem Vorzeichen: Bei $x = 1,9$ ist der Nenner $-0,1$ und der Wert $-10$ . Die senkrechte Linie bei $x = 2$ heißt , und der Graph schmiegt sich von beiden Seiten an sie an, berührt sie aber nie. Gezeichnet wird sie gestrichelt, denn sie gehört nicht zum Graphen, sondern ist nur eine Orientierungslinie.

Koordinatensystem

P (3 | 2)

Wander mit dem Punkt an einer Definitionslücke entlang. Für

y = \frac{6}{x}

setz nacheinander (6|1), (3|2), (2|3) und (1|6): Je näher

x

an 0 rückt, desto steiler steigt der Wert. Bei

x = 0

gibt es keinen Punkt mehr, dort liegt die senkrechte Asymptote. Setz danach (−1|−6) und (−2|−3), das ist der Ast auf der anderen Seite, und er läuft nach unten weg.

Die waagerechte Asymptote

Die zweite Frage geht in die andere Richtung: Was passiert für sehr große $x$ ? Bei $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ ist der Nenner dann riesig und der Bruch winzig. Für $x = 1000$ ist der Wert etwa 0,001. Der Graph nähert sich also der Höhe 0, ohne sie zu erreichen, und die $x$ -Achse ist eine waagerechte Asymptote.

Ob es überhaupt eine waagerechte Asymptote gibt, entscheidet ein Vergleich der Grade. Ist der Grad oben kleiner als unten, geht der Bruch gegen 0. Sind beide Grade gleich, nähert sich der Graph dem Verhältnis der Leitkoeffizienten: Bei $\frac{3x^2 + 1}{x^2 - 4}$ ist das 3. Ist der Grad oben größer, gibt es keine waagerechte Asymptote, denn der Bruch wächst weiter über alle Grenzen.

\frac{3x^2 + 1}{x^2 - 4} \;\longrightarrow\; \frac{3}{1} = 3 \quad \text{für sehr große } |x|

Bei gleichem Grad zählen nur noch die beiden Leitkoeffizienten.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Woran erkennst du eine Definitionslücke?

An welcher Stelle ist $f(x) = \frac{4}{x - 7}$ nicht definiert?

Welche senkrechten Asymptoten hat $f(x) = \frac{x}{x^2 - 16}$ ?

Eine Linie, der sich der Graph immer weiter nähert, ohne sie zu erreichen, heißt ….

Berechne $f(4)$ für $f(x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

Ordne jeder Funktion ihre waagerechte Asymptote zu.

\frac{1}{x + 3}

\frac{5x}{x - 1}

\frac{2x^2}{4x^2 + 1}

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