Wachstum & Zerfall

Du nimmst eine Tablette, und der Wirkstoff verschwindet nicht auf einen Schlag: Er nimmt Stunde für Stunde um denselben Anteil ab. Dein Sparguthaben macht es umgekehrt, es legt Jahr für Jahr um denselben Anteil zu. Beides folgt derselben Regel. Es wird nicht immer dieselbe Menge addiert, sondern immer mit derselben Zahl multipliziert. Diese eine Idee steckt hinter Zinsen, Bakterienkulturen und dem Wirkstoffspiegel im Blut.

Ein Faktor, immer wieder

Wächst etwas um 3 % pro Jahr, dann bleiben die alten 100 % erhalten und 3 % kommen dazu. Zusammen sind das 103 %, als Faktor geschrieben 1,03. Aus 500 Euro werden so nach einem Jahr 515 Euro. Im zweiten Jahr rechnest du wieder mal 1,03, diesmal aber von den 515 Euro aus, das ergibt 530,45 Euro. Nach zwei Jahren steht also $500 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03$ auf dem Konto, nach zehn Jahren wirkt der Faktor zehnmal. Genau dafür gibt es die Potenz: Der Exponent zählt einfach, wie oft der Faktor an der Reihe war.

Zerfall: der Faktor bleibt unter 1

Ein Faktor kleiner als 1 macht den Bestand bei jedem Schritt kleiner, ganz ohne Minuszeichen. Nimmt der Wirkstoff im Blut pro Stunde um 30 % ab, dann bleiben 70 % übrig, der Faktor ist also 0,7. Aus 400 mg werden nach einer Stunde 280 mg und nach zwei Stunden 196 mg. Beachte, wie der Abzug schrumpft: erst 120 mg, dann nur noch 84 mg. Er bezieht sich immer auf das, was gerade noch da ist, und deshalb kommt ein Zerfall rechnerisch nie bei null an.

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Beim Wachstum fragt man nach der Verdopplungszeit, beim Zerfall nach der Halbwertszeit. Die Verdopplungszeit ist die Zeit, bis doppelt so viel da ist, die Halbwertszeit die Zeit, bis nur noch die Hälfte übrig ist. Beide hängen nur am Faktor, nicht daran, wie viel gerade da ist. Ein Medikament mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden ist nach 6 Stunden auf die Hälfte gesunken, nach 12 Stunden auf ein Viertel, nach 18 Stunden auf ein Achtel. Aus 600 mg werden so der Reihe nach 300 mg, 150 mg und 75 mg. Beim Sparen läuft es spiegelbildlich: Mit rund 7 % Zuwachs pro Jahr verdoppelt sich ein Guthaben etwa alle 10 Jahre, egal ob dort 200 Euro oder 5000 Euro liegen.