Mathematik

Funktionen verschieben & strecken

Aus einer Grundfunktion viele machen: schieben, spiegeln, strecken, alles mit kleinen Handgriffen.

Das brauchst du vorher

Wenn du eine Grundfunktion wie $f(x) = x^2$ kennst, musst du für ihre Verwandten nicht jedes Mal neu rechnen. Du kannst den fertigen Graphen einfach nehmen und ihn verschieben, spiegeln oder in die Länge ziehen. Ein paar wenige Handgriffe reichen, um aus einer Kurve eine ganze Familie zu machen.

Nach oben und unten schieben

Addierst du außen eine Zahl $c$ , also $f(x) + c$ , dann rutscht der ganze Graph um $c$ nach oben. Ist $c$ negativ, geht es nach unten. Jeder Punkt behält seine x-Stelle, nur seine Höhe ändert sich. Bei $x^2 + 3$ ist es dieselbe wie bei $x^2$ , nur drei Einheiten höher.

f(x) + c \quad\Rightarrow\quad (x,\, y) \longrightarrow (x,\, y + c)

Außen addieren verschiebt senkrecht: Jeder Punkt behält sein

x

und bekommt

c

auf die Höhe dazu.

Nach links und rechts schieben

Steht die Zahl im Inneren, bei $f(x - d)$ , verschiebt sich der Graph waagerecht. Achtung, das fühlt sich verkehrt an: $f(x - 2)$ geht um 2 nach rechts, $f(x + 2)$ um 2 nach links. Der Grund: Bei $f(x - 2)$ muss $x$ erst um 2 größer werden, damit in der Klammer wieder derselbe Wert steht wie vorher. Jede Höhe wird also 2 Einheiten später erreicht, und genau das sieht man als Verschiebung nach rechts.

Koordinatensystem

y = 1x² + 1nach oben geöffnet

Verstell die Regler und beobachte, wie die Parabel wandert und sich streckt, ohne ihre Form zu verlieren.

Strecken und stauchen

Ein Faktor außen, $a \cdot f(x)$ , zieht den Graphen in die Höhe. Bei $a = 2$ wird jede Höhe verdoppelt, die Kurve steigt doppelt so steil, und genau deshalb wirkt eine Parabel schmaler. Bei $0 < a < 1$ wird jede Höhe kleiner und der Graph flacher. Ist $a$ negativ, kippt der Graph zusätzlich an der x-Achse: aus einem Tal wird ein Berg.

g(x) = a \cdot f(x - d) + c

Alles zusammen:

a

streckt die Höhen, das

d

in der Klammer schiebt um

d

nach rechts, und das

c

außen hebt um

c

an.

Aufgaben

0 von 6 gelöst

Zeit zum Ausprobieren. Du kannst nichts kaputt machen, jeder Versuch zählt.

Wie entsteht der Graph von $f(x) + 4$ aus dem von $f(x)$ ?

In welche Richtung verschiebt $f(x - 3)$ den Graphen?

Sei $f(x) = x^2$ . Welchen Wert hat $f(x) + 5$ an der Stelle $x = 2$ ?

Ordne jeder Veränderung von $f(x)$ ihre Wirkung auf den Graphen zu.

f(x) - 2

f(x + 2)

-f(x)

2 \cdot f(x)

Sei $f(x) = x^2$ . Der Graph wird um 3 nach rechts verschoben, also $g(x) = (x - 3)^2$ . Welchen Wert hat $g$ an der Stelle $x = 5$ ?

Ein negatives $a$ in $a \cdot f(x)$ spiegelt den Graphen an der … .

Damit geht es weiter

Umkehrfunktionen

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