Potenzfunktionen

Die Parabel $y = x^2$ ist nur ein Mitglied einer großen Familie. Erhöhst du den Exponenten auf $3$, $4$ oder mehr, entstehen verwandte Kurven mit eigenem Charakter. Sie alle heißen Potenzfunktionen und haben die schlichte Form $y = x^n$. Wer ihre wenigen Regeln kennt, kann den Verlauf jeder von ihnen vorhersagen, ohne einen einzigen Punkt zu berechnen.

Die Familie y = x hoch n

Eine Potenzfunktion hat die Form $y = x^n$, wobei $n$ für eine der Zahlen $1, 2, 3, \dots$ steht. Für $n = 1$ ist es die Gerade $y = x$, für $n = 2$ die Parabel, für $n = 3$ die kubische Kurve. Alle gehen durch die Punkte $(0, 0)$ und $(1, 1)$, denn $0^n = 0$ und $1^n = 1$ gelten für jedes dieser $n$. Je größer $n$ wird, desto flacher schmiegt sich die Kurve zwischen $-1$ und $1$ an die $x$-Achse, und desto steiler schießt sie für $x > 1$ nach oben.

Gerade und ungerade Exponenten

Der entscheidende Unterschied liegt darin, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Bei geradem $n$, etwa $x^2$ oder $x^4$, ist der Wert für negative $x$ immer positiv, denn Minus mal Minus hebt sich in Paaren auf. Die Kurve rutscht deshalb nie unter die $x$-Achse und ist an der $y$-Achse gespiegelt. Bei ungeradem $n$, etwa $x^3$ oder $x^5$, bleibt ein negatives Vorzeichen übrig: Negative $x$ liefern negative Werte, die Kurve läuft von unten links nach oben rechts.

Zwei Arten von Symmetrie

Diese beiden Verhalten tragen Namen. Gerade Exponenten führen zu achsensymmetrischen Kurven: Die linke Hälfte ist das Spiegelbild der rechten an der $y$-Achse, so wie bei der Parabel. Ungerade Exponenten führen zu punktsymmetrischen Kurven: Drehst du die Kurve um $180$ Grad um den Ursprung, liegt sie wieder auf sich selbst. Deshalb gilt bei ungeradem $n$ die Beziehung $(-x)^n = -x^n$.