Hyperbel & Kehrwertfunktion

Eine Pizza wird unter $x$ Personen geteilt. Bei 2 Personen bekommt jede die Hälfte, bei 4 Personen ein Viertel, bei 10 Personen nur noch ein Zehntel. Der Anteil, den eine Person bekommt, ist genau $y = \frac{1}{x}$. Diese Funktion heißt Kehrwertfunktion, und ihr Graph hat eine Form, die es bei Geraden und Parabeln nicht gibt.

Je größer x, desto kleiner y

Rechne ein paar Werte aus: $\frac{1}{1} = 1$, $\frac{1}{2} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$ und $\frac{1}{10} = 0{,}1$. In die andere Richtung geht es genauso: $\frac{1}{0{,}5} = 2$, denn die 0,5 passt zweimal in die 1, und $\frac{1}{0{,}1} = 10$. Wächst $x$, schrumpft $y$, und schrumpft $x$, wächst $y$. Ein kleiner Test verrät, ob ein Punkt zur Kurve gehört: Multipliziere seine beiden Koordinaten, bei der Kehrwertfunktion kommt immer 1 heraus.

Die verbotene Null

Eine Stelle bleibt frei: $x = 0$. Durch null zu teilen ist nicht erlaubt, denn keine Zahl mal null ergibt 1. Auch im Pizzabild ergibt es keinen Sinn, eine Pizza unter null Personen aufzuteilen. Deshalb gehören zur Definitionsmenge alle Zahlen außer der 0, kurz $x \neq 0$. An dieser Stelle hat der Graph eine Lücke, und er zerfällt dadurch in zwei getrennte Teile, die man Äste nennt.

Direkt neben der Lücke wird es spannend. Setz $x = 0{,}1$ ein, dann ist $y = 10$, bei $x = 0{,}01$ sind es schon 100 und bei $x = 0{,}001$ ganze 1000. Näherst du dich der Lücke von rechts, also von den positiven Zahlen her, schießt die Kurve steil nach oben. Von links kommend stürzt sie genauso steil nach unten, denn $\frac{1}{-0{,}001} = -1000$. Weit draußen passiert das Gegenteil: $x = 100$ liefert 0,01 und $x = 1000$ liefert 0,001. Der Wert wird beliebig klein, erreicht die 0 aber nie, denn 1 geteilt durch eine Zahl ergibt niemals genau null.

Zwei Äste, zwei Asymptoten

Zusammen ergibt das die typische Form: zwei Äste, die einander nie berühren. Für positive $x$ liegt der Ast oben rechts, für negative $x$ unten links, denn 1 geteilt durch eine negative Zahl bleibt negativ. Diese Kurve heißt Hyperbel, und sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Zu jedem Punkt $(x \mid y)$ gehört auch $(-x \mid -y)$. Die beiden Achsen sind ihre Asymptoten, also Geraden, denen sich die Kurve immer weiter annähert, ohne sie je zu erreichen: die $y$-Achse an der Lücke und die $x$-Achse weit draußen.