Umkehrfunktionen

Du packst ein Geschenk ein: Erst kommt das Papier, dann die Schleife. Zum Auspacken machst du alles rückwärts: erst die Schleife lösen, dann das Papier entfernen. Genau diese Idee steckt hinter Umkehrfunktionen. Eine Funktion verwandelt eine Eingabe in eine Ausgabe. Ihre Umkehrfunktion macht das rückgängig: Sie verwandelt die Ausgabe zurück in die ursprüngliche Eingabe.

Die Maschine rückwärts laufen lassen

Nimm die Funktion $y = 2x + 3$. Als Maschine gelesen macht sie zwei Schritte: erst mit 2 multiplizieren, dann 3 addieren. Aus der Eingabe 4 wird so die Ausgabe 11. Um zurückzurechnen, drehst du beides um: die Reihenfolge der Schritte und jeden Schritt selbst. Rückwärts heißt das: erst 3 subtrahieren, dann durch 2 dividieren. Aus 11 wird wieder 4. Wie beim Geschenk gilt: Was zuletzt getan wurde, wird zuerst rückgängig gemacht.

Tabelle tauschen, Graph spiegeln

In einer Wertetabelle ist die Umkehrung ganz einfach: Du vertauschst die beiden Spalten. Steht bei der Funktion das Paar Eingabe 2 und Ausgabe 7, dann steht bei der Umkehrfunktion Eingabe 7 und Ausgabe 2. Am Graphen passiert dabei etwas Schönes: Weil jeder Punkt (a|b) zum Punkt (b|a) wird, entsteht der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegeln an der Geraden $y = x$. Diese Gerade ist die Diagonale, auf der Eingabe und Ausgabe gleich sind.

Nicht jede Maschine lässt sich so leicht umdrehen. Bei linearen Funktionen wie $y = 2x + 3$ klappt es immer, solange die Steigung nicht 0 ist. Bei $y = x^2$ dagegen liefern 3 und −3 beide die Ausgabe 9, aus der Ausgabe allein lässt sich die Eingabe also nicht mehr eindeutig zurückholen. Spannend wird es bei Funktionen wie $y = 10^x$: Auch sie hat eine Umkehrung. Sie beantwortet die Frage, mit welcher Hochzahl man 10 potenzieren muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Für die Ausgabe 1000 ist diese Hochzahl 3. Diese Umkehrung heißt Logarithmus, und du wirst ihr später noch genauer begegnen.