Ganzrationale Funktionen

$f(x) = 2x + 1$ ist eine Gerade. $f(x) = x^2 - 3$ ist eine Parabel. $f(x) = x^3 - 4x$ ist eine Kurve, die zweimal die Richtung wechselt. Alle drei gehören zur selben Familie: Es wird nur addiert, multipliziert und mit natürlichen Exponenten potenziert, mehr nicht. Diese Familie heißt ganzrationale Funktionen, und weil sie so einfach gebaut sind, kann man ihnen erstaunlich viel ansehen, bevor man überhaupt rechnet.

Der Grad ist die wichtigste Zahl

Der Grad ist der höchste vorkommende Exponent. Bei $f(x) = 5x^3 - 2x + 7$ ist er 3. Er entscheidet über zwei Dinge auf einmal. Erstens über die Anzahl der Nullstellen: höchstens so viele, wie der Grad angibt. Eine Funktion vom Grad 3 hat also höchstens drei Nullstellen, aber vielleicht auch nur eine. Zweitens über die Anzahl der Bögen: Eine Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n - 1$ Hoch- und Tiefpunkte.

Was ganz weit draußen passiert

Setz eine sehr große Zahl ein, etwa $x = 1000$. Bei $f(x) = x^3 - 4x + 7$ ist $x^3$ dann eine Milliarde, während $-4x$ nur $-4000$ beiträgt. Der höchste Term überstimmt alle anderen, sobald $x$ groß genug wird. Deshalb entscheiden allein der Grad und das Vorzeichen davor darüber, wohin die Kurve am Rand läuft.

Daraus folgt eine Regel mit vier Fällen. Ist der Grad gerade, laufen beide Enden in dieselbe Richtung, wie bei der Parabel: nach oben bei positivem Leitkoeffizienten, nach unten bei negativem. Ist der Grad ungerade, laufen die Enden auseinander: links nach unten und rechts nach oben, oder umgekehrt. Das erklärt auch, warum jede Funktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle haben muss, denn sie kommt von unten und geht nach oben und muss dabei die Achse kreuzen.

Nullstellen finden

Für Nullstellen gibt es drei Werkzeuge, und du probierst sie in dieser Reihenfolge. Erstens Ausklammern: Bei $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$ siehst du sofort die Nullstelle 0 und danach $\pm 2$. Zweitens die Mitternachtsformel, sobald nur noch Grad 2 übrig ist. Drittens eine Nullstelle raten und mit Polynomdivision den Grad senken, wenn die ersten beiden Wege nicht reichen.

Ein Sonderfall lohnt sich: Wenn nur gerade Exponenten vorkommen, wie bei $x^4 - 5x^2 + 4$, setzt du $u = x^2$ und bekommst $u^2 - 5u + 4$. Das ist eine gewöhnliche quadratische Gleichung mit den Lösungen $u = 1$ und $u = 4$. Zurück eingesetzt ergibt das $x = \pm 1$ und $x = \pm 2$. Diese Methode heißt Substitution.