Mitternachtsformel

Manche quadratischen Gleichungen lassen sich durch geschicktes Raten lösen, doch bei $2x^2 - 7x + 3 = 0$ hört der Spaß schnell auf. Für genau diese Fälle gibt es eine Lösungsformel, die immer funktioniert. Im Deutschen heißt sie oft Mitternachtsformel, weil man sie so sicher können soll, dass man sie auch um Mitternacht aufsagen kann.

Die Form der Gleichung

Damit die Formel greift, muss die Gleichung in der Form $a x^2 + b x + c = 0$ stehen. Du liest die drei Zahlen $a$, $b$ und $c$ ab, dabei zählen die Vorzeichen mit. Bei $2x^2 - 7x + 3 = 0$ ist $a = 2$, $b = -7$ und $c = 3$. Diese drei Zahlen setzt du in die Lösungsformel ein, und sie liefert dir die Stellen, an denen die Parabel die $x$-Achse trifft.

Die Diskriminante

Der Ausdruck unter der Wurzel hat einen eigenen Namen: die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$. Sie entscheidet über die Zahl der Lösungen, noch bevor du weiterrechnest. Ist $D > 0$, gibt es zwei Lösungen, die Parabel schneidet die $x$-Achse zweimal. Ist $D = 0$, fallen beide zu einer zusammen, die Parabel berührt die Achse nur. Ist $D < 0$, gibt es keine reelle Lösung, denn eine negative Zahl hat keine reelle Wurzel.

Schritt für Schritt

Nimm $x^2 - 5x + 6 = 0$ mit $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Zuerst die Diskriminante: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Weil $D > 0$ ist, gibt es zwei Lösungen. Die Wurzel aus $1$ ist $1$, und weil $-b = 5$ und $2a = 2$ ist, steht da $x = \frac{5 \pm 1}{2}$. Mit Plus bekommst du $3$, mit Minus bekommst du $2$. Die Lösungen sind $x_1 = 3$ und $x_2 = 2$. Und die Gleichung vom Anfang? Für $2x^2 - 7x + 3 = 0$ ist $D = 49 - 24 = 25$, die Wurzel ist $5$, also $x = \frac{7 \pm 5}{4}$ und damit $x_1 = 3$ und $x_2 = 0{,}5$.