Exponentialgleichungen

Bei $3x = 12$ teilst du durch 3. Bei $x^3 = 8$ ziehst du die dritte Wurzel. Aber was machst du bei $3^x = 81$? Hier steht das $x$ nicht als Basis, sondern als Exponent, und keine der bekannten Umkehroperationen kommt daran. Genau für diese Situation gibt es den Logarithmus.

Wenn Raten reicht

Manchmal brauchst du gar keinen Taschenrechner. $3^x = 81$ löst du, indem du die Potenzen von 3 durchgehst: 3, 9, 27, 81. Das ist der vierte Schritt, also $x = 4$. Diesen Weg solltest du immer zuerst probieren, denn er ist schneller und liefert eine exakte Zahl statt einer gerundeten.

Der Logarithmus als Werkzeug

Bei $2^x = 50$ hilft Probieren nicht weiter: $2^5 = 32$ ist zu klein, $2^6 = 64$ zu groß, die Lösung liegt irgendwo dazwischen. Jetzt wendest du auf beiden Seiten den Logarithmus an. Der entscheidende Schritt ist die Regel $\log(a^x) = x \cdot \log(a)$, denn dadurch rutscht der Exponent nach unten und wird zu einem gewöhnlichen Faktor.

Aus $2^x = 50$ wird $\log(2^x) = \log(50)$, also $x \cdot \log(2) = \log(50)$. Und jetzt ist es eine ganz normale Gleichung: Du teilst durch $\log(2)$ und bekommst $x = \frac{\log(50)}{\log(2)} \approx 5{,}64$. Das passt zur Abschätzung von eben, denn 5,64 liegt zwischen 5 und 6.

Zuerst freistellen

In echten Aufgaben steht die Potenz selten allein. Bei $5 \cdot 2^x = 320$ darfst du den Logarithmus nicht sofort anwenden, denn er wirkt auf das ganze Produkt und nicht nur auf die Potenz. Erst teilst du durch 5 und bekommst $2^x = 64$, und dann bist du wieder bei einer Aufgabe, die du sogar im Kopf lösen kannst: $x = 6$. Die Reihenfolge ist also dieselbe wie bei jeder Gleichung: erst alles Störende beiseite räumen, dann die Umkehroperation anwenden.