Exponentialfunktionen

Lege ein Reiskorn auf das erste Feld eines Schachbretts, verdopple es auf jedem weiteren Feld, und schon nach wenigen Feldern reicht kein Sack der Welt mehr aus. Diese Wucht steckt hinter jedem Vorgang, der sich immer wieder selbst vervielfacht: verzinstes Geld, sich teilende Bakterien, ein Gerücht, das die Runde macht. Die Mathematik dahinter ist die Exponentialfunktion.

Das x steht im Exponenten

Bei den Potenzfunktionen stand $x$ in der Basis, etwa bei $y = x^2$. Bei der Exponentialfunktion ist es umgekehrt: Jetzt steht $x$ oben im Exponenten. Die allgemeine Form ist $y = a \cdot b^x$. Dabei ist $a$ der Startwert bei $x = 0$, denn $b^0 = 1$. Die Basis $b$ ist der Faktor, mit dem sich der Wert bei jedem Schritt multipliziert. Ist $b$ größer als $1$, wird aus diesem festen Faktor eine Kurve, die immer steiler wird.

Wachstum und Zerfall

Alles hängt an der Basis $b$. Ist $b > 1$, wächst der Wert, bei $b = 2$ verdoppelt er sich mit jedem Schritt. Ist $b$ zwischen $0$ und $1$, wird der Wert kleiner, das nennt man Zerfall. Bei $b = 0{,}5$ halbiert er sich jedes Mal. So nimmt die Menge eines radioaktiven Stoffes ab, und so schrumpft auch der Temperaturunterschied zwischen einem heißen Kaffee und dem Raum. Genau bei $b = 1$ passiert nichts: Mal $1$ lässt jeden Wert unverändert, der Graph ist eine waagerechte Gerade. Ein positiver Startwert $a$ verschiebt nur die Höhe, die Richtung entscheidet allein $b$.

Die Verdopplungszeit

Bei Wachstum fragt man oft: Wie lange dauert es, bis sich der Wert verdoppelt? Diese Verdopplungszeit ist immer gleich lang, egal wie groß der Wert schon ist. Verdoppeln sich Bakterien jede Stunde, so werden aus $200$ nach einer Stunde $400$, nach zwei Stunden $800$ und nach drei Stunden $1600$. Genau diese feste Verdopplungszeit macht exponentielles Wachstum am Anfang so unscheinbar und später so überwältigend.