Quadratische Funktionen

Wirf einen Ball schräg nach vorne und schau ihm nach: Er steigt, wird beim Steigen immer langsamer, kippt über den höchsten Punkt und fällt in einem eleganten Bogen zurück. Dieser Bogen ist keine Zufallsform, sondern eine Parabel. Dieselbe Kurve steckt im Wasserstrahl eines Springbrunnens und im Tragseil mancher Brücke. Hinter all dem steht eine der wichtigsten Funktionen der Mathematik: die quadratische Funktion.

y = x²: die Grundform

Die einfachste quadratische Funktion ist y = x². Zu jedem x gehört sein Quadrat: Aus 2 wird 4, aus 3 wird 9, aus −3 wird ebenfalls 9, denn minus mal minus ergibt plus. Zeichnest du diese Punkte, entsteht eine nach oben geöffnete, symmetrische Kurve: die Parabel. Ihr tiefster Punkt liegt bei (0, 0) und heißt Scheitelpunkt. Links und rechts davon steigt die Kurve immer steiler an.

Was a und c bewirken

Eine etwas allgemeinere Form ist y = a · x² + c mit zwei Stellschrauben. Die Zahl a vor dem x² streckt oder staucht die Parabel: Bei a = 2 ist jeder y-Wert doppelt so groß wie bei y = x², die Kurve wird dadurch schmaler. Ist a negativ, etwa bei y = −x², klappt die Parabel nach unten und der Scheitelpunkt wird zum höchsten Punkt, wie beim Ballwurf. Die Zahl c schiebt die ganze Kurve hoch oder runter: Bei y = x² + 3 liegt der Scheitelpunkt bei (0, 3), bei y = x² − 5 liegt er bei (0, −5). Die vollständig allgemeine quadratische Funktion hat noch einen Mittelterm: y = a · x² + b · x + c. Hier betrachten wir den einfacheren Fall mit b = 0. Eines gilt aber immer: a darf nicht null sein, sonst fällt das x² weg und übrig bleibt eine Gerade.

Der Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der wichtigste Punkt der Parabel: der tiefste, wenn sie nach oben geöffnet ist, der höchste, wenn sie nach unten geöffnet ist. Im Alltag steckt darin oft die entscheidende Information: die maximale Höhe eines Wurfs oder der tiefste Punkt am Tragseil einer Hängebrücke. Bei y = a · x² + c liegt der Scheitelpunkt immer bei (0, c). Genauso wichtig ist oft der Boden: Wo trifft die Parabel die x-Achse? Dort ist y = 0. Bei y = 16 − x² wird daraus 0 = 16 − x², also x² = 16. Weil 4 · 4 = 16 ist, liegen diese Stellen bei x = 4 und x = −4.