Proportional & antiproportional

Der Wasserhahn läuft in den Putzeimer: nach 2 Minuten sind 24 Liter drin, nach 4 Minuten 48 Liter. Am selben Abend teilt sich eine Gruppe eine Taxirechnung von 60 €: zu zweit zahlt jeder 30 €, zu viert nur noch 15 €. Beide Male hängen zwei Größen zusammen, aber sie bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen. Beim Wasser wächst das eine mit dem anderen mit, beim Taxi schrumpft es. Für diese beiden Muster gibt es Namen: proportional und antiproportional.

Proportional: doppelt so viel, doppelt so viel

Zurück zum Eimer. Nach 1 Minute sind 12 Liter drin, nach 2 Minuten 24 Liter, nach 3 Minuten 36 Liter, nach 5 Minuten 60 Liter. Verdoppelst du die Zeit, verdoppelt sich die Menge, verdreifachst du sie, verdreifacht sich die Menge. Der eigentliche Kern steckt aber in der Division: Teilst du bei jedem Wertepaar die Liter durch die Minuten, kommt immer dieselbe Zahl heraus, nämlich 12. Diese Zahl heißt Proportionalitätsfaktor $k$, hier sind es 12 Liter pro Minute. Sie ist das, was gleich bleibt, während beide Größen sich ändern.

Trägst du die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, also die Minuten nach rechts und die Liter nach oben, liegen alle Punkte auf einer Geraden. Und diese Gerade geht durch den Nullpunkt, denn nach 0 Minuten sind 0 Liter im Eimer. Genau das ist die Probe: Eine Gerade allein reicht nicht, sie muss auch durch den Nullpunkt laufen. Der Faktor $k$ ist dabei die Steigung, ein größeres $k$ macht die Gerade steiler. Ein Hahn mit 20 Litern pro Minute ergibt dieselbe Art Bild, nur steiler.

Antiproportional: mehr davon, weniger davon

Jetzt das Taxi. Die Fahrt kostet 60 €, egal wie viele mitfahren, geteilt wird durch die Anzahl der Leute. Zu zweit zahlt jeder 30 €, zu dritt 20 €, zu viert 15 €, zu fünft 12 €. Doppelt so viele Leute bedeuten hier den halben Betrag pro Person. Der Quotient hilft nicht weiter, dafür das Produkt: 2 · 30, 3 · 20, 4 · 15 und 5 · 12 ergeben immer 60. Dasselbe Muster steckt in einer Autofahrt von 180 km: mit 60 km/h dauert sie 3 Stunden, mit 90 km/h nur 2 Stunden, und Tempo mal Zeit bleibt 180.

Woran erkennst du also, welcher Fall vorliegt? Nimm zwei Wertepaare und mach den Verdopplungstest: Wird das eine doppelt so groß und das andere auch, ist es proportional. Wird das andere halb so groß, ist es antiproportional. Passiert weder das eine noch das andere, ist es keins von beidem, und dieser dritte Fall kommt öfter vor, als man denkt. Ein Handytarif mit 5 € Grundgebühr plus 2 € pro Gigabyte wächst zwar gleichmäßig, aber bei 0 Gigabyte zahlst du schon 5 €. Die Gerade verfehlt den Nullpunkt, damit ist der Tarif nicht proportional. Im Koordinatensystem sieht eine antiproportionale Zuordnung übrigens ganz anders aus: eine fallende Kurve, die sich den Achsen nur annähert und sie nie berührt.