Teiler & Vielfache

Warum passen 12 Kekse so schön auf 3 oder 4 Teller, aber 13 nirgends glatt hin? Weil manche Zahlen sich sauber aufteilen lassen und andere nicht. Genau darum geht es hier: um Teiler und Vielfache, und wie du damit blitzschnell erkennst, was zusammenpasst.

Was sind Teiler und Vielfache?

Ein Teiler von 12 ist jede Zahl, die ohne Rest in 12 passt: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Ein Vielfaches von 3 ist umgekehrt jede Zahl, die du durch wiederholtes Addieren von 3 erreichst: 3, 6, 9, 12 und so weiter. Teiler stecken also in einer Zahl drin, Vielfache bauen auf ihr auf.

Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl ab 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und bis auf die Reihenfolge der Faktoren geht das nur auf eine einzige Weise. 12 ist $2 \cdot 2 \cdot 3$, 18 ist $2 \cdot 3 \cdot 3$. Diese Zerlegung ist wie der Fingerabdruck einer Zahl: Aus ihr liest du alle Teiler ab und siehst sofort, was zwei Zahlen gemeinsam haben.

Der größte gemeinsame Teiler

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei Zahlen ist die größte Zahl, die in beide ohne Rest passt. Bei 12 und 18 sind die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3 und 6, der größte davon ist 6. Über die Primfaktoren geht es schnell: Du nimmst jede Primzahl so oft, wie sie in beiden Zerlegungen vorkommt, und multiplizierst diese Faktoren. Bei 12 ($2 \cdot 2 \cdot 3$) und 18 ($2 \cdot 3 \cdot 3$) sind das eine 2 und eine 3, also $2 \cdot 3 = 6$.

Das kleinste gemeinsame Vielfache

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die zugleich Vielfaches beider Zahlen ist. Du findest es, indem du die Vielfachen beider Zahlen aufzählst und schaust, wo sie sich zum ersten Mal treffen. Bei 4 und 6 sind das 4, 8, 12 und 6, 12, das kgV ist also die 12. ggT und kgV hängen eng zusammen: Ihr Produkt ist immer gleich dem Produkt der beiden Ausgangszahlen.