Bruchgleichungen

Ihr bestellt eine Pizza für 12 Euro und teilt den Preis gerecht. Am Ende zahlt jede Person 4 Euro. Wie viele wart ihr? Diese Frage steckt in der Gleichung $\frac{12}{x} = 4$. Neu ist daran nur, wo das $x$ steht: nicht im Zähler und nicht allein auf einer Seite, sondern unter dem Bruchstrich. Solche Gleichungen heißen Bruchgleichungen, und mit drei festen Handgriffen löst du sie alle.

Erst die verbotenen Zahlen

Durch 0 darf man nicht teilen, das ist in der Mathematik nicht definiert. Deshalb schaust du bei einer Bruchgleichung zuerst auf den Nenner und fragst: Für welche Zahl würde er 0? Bei $\frac{12}{x}$ ist das die 0 selbst, also gilt $x \neq 0$. Bei $\frac{6}{x - 2}$ setzt du $x - 2 = 0$ und erhältst $x = 2$, diese Zahl ist verboten. Steht im Nenner ein Plus, wird die verbotene Zahl negativ: Aus $x + 5 = 0$ folgt $x = -5$. Man sagt, der Term hat dort eine Definitionslücke. Notiere die verbotenen Zahlen gleich neben der Aufgabe, bevor du überhaupt anfängst umzuformen.

Den Bruch wegmultiplizieren

Die Waage gilt weiter: Was du links tust, tust du auch rechts. Neu ist nur der Schritt, mit dem du den Bruch loswirst. Du multiplizierst beide Seiten mit dem Nenner, dann kürzt sich der Bruch weg und das $x$ steht wieder oben. Erlaubt ist dieser Schritt, weil der Nenner für jede zugelassene Zahl ungleich 0 ist. Aus $\frac{12}{x} = 4$ wird so $12 = 4x$, und Teilen durch 4 liefert $x = 3$. Steht im Nenner mehr als nur ein $x$, setzt du beim Multiplizieren eine Klammer: Aus $\frac{6}{x - 2} = 3$ wird $6 = 3 \cdot (x - 2)$, also $6 = 3x - 6$, dann $3x = 12$ und schließlich $x = 4$.

Die Probe und die Scheinlösung

Zum Schluss setzt du deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Für $x = 4$ in $\frac{6}{x - 2} = 3$ rechnest du $\frac{6}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$, beide Seiten stimmen überein. Bei Bruchgleichungen kommt eine zweite Frage dazu: Ist die Lösung überhaupt erlaubt? Bei $\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3}$ ist $x = 3$ verboten, denn dort wären beide Nenner 0. Das Multiplizieren mit $(x - 3)$ liefert aber genau die Zeile $x = 3$. Dann nennt man $x = 3$ eine Scheinlösung, sie fällt weg, und die Gleichung hat keine Lösung.