Binomialverteilung

Viele Fragen sehen verschieden aus und sind in Wahrheit dieselbe: Wie wahrscheinlich sind bei 10 Würfen genau 2 Sechsen? Wie wahrscheinlich sind unter 20 Bauteilen genau 3 defekte? Wie wahrscheinlich ist es, bei 8 Freiwürfen 5 zu treffen? Immer wird derselbe Versuch mehrfach wiederholt, jedes Mal mit derselben Chance, und es zählt nur, wie oft es geklappt hat.

Die Bernoulli-Kette

Drei Bedingungen müssen erfüllt sein. Erstens: Jeder Versuch hat nur zwei Ausgänge, Treffer oder kein Treffer. Zweitens: Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt bei jedem Versuch gleich. Drittens: Die Versuche beeinflussen sich nicht. Ist alles erfüllt, spricht man von einer Bernoulli-Kette, und dann gilt die Formel dieses Themas.

Woher die Formel kommt

Nimm 3 Würfe mit $p = \frac{1}{6}$ und frage nach genau einer Sechs. Ein möglicher Verlauf ist Treffer, Niete, Niete, und seine Wahrscheinlichkeit ist $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}$. Aber die Sechs könnte auch beim zweiten oder dritten Wurf kommen. Alle drei Verläufe haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, also musst du sie mit 3 multiplizieren.

Genau das leistet der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$, gesprochen $n$ über $k$. Er zählt, auf wie viele Arten sich $k$ Treffer auf $n$ Versuche verteilen können. Für 3 Versuche und 1 Treffer sind das 3 Möglichkeiten, für 10 Versuche und 2 Treffer schon 45.

Die drei Bausteine sind leicht zu behalten. $p^k$ steht für die $k$ Treffer, $(1-p)^{n-k}$ für die restlichen Versuche ohne Treffer, und der Binomialkoeffizient dafür, dass die Treffer an verschiedenen Stellen stehen können. Für 10 Würfe und genau 2 Sechsen ergibt das $\binom{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 0{,}29$.

Mindestens und höchstens

Selten wird nach genau einer Zahl gefragt. Bei mindestens einem Treffer wäre die direkte Rechnung mühsam, denn du müsstest alle Fälle von 1 bis $n$ addieren. Der Umweg über das Gegenereignis ist viel kürzer: Mindestens ein Treffer ist das Gegenteil von gar keinem Treffer, also $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$. Und $P(X = 0)$ ist einfach $(1-p)^n$.