Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand aus deiner Klasse zu spät zum Unterricht kommt? Über alle gerechnet ist das vielleicht jede vierte Person. Jetzt verrät dir jemand: Diese Person kommt mit dem Bus. Sofort schätzt du anders, denn Busse stehen im Stau. Genau darum geht es in diesem Thema: Eine zusätzliche Information verändert eine Wahrscheinlichkeit, oft ziemlich deutlich.

Wissen macht die Gruppe kleiner

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, wenn du schon weißt, dass etwas anderes zutrifft. Geschrieben wird sie $P(A|B)$ und gelesen: die Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Bedingung $B$. Der Gedanke dahinter ist einfach. Du schaust nicht mehr auf alle Fälle, sondern nur noch auf die kleinere Gruppe, in der $B$ zutrifft. Innerhalb dieser Gruppe zählst du dann wieder ganz normal günstige durch mögliche Fälle.

Die Vierfeldertafel

Zwei Merkmale gleichzeitig lassen sich in einer Vierfeldertafel ordnen. Beispiel: 40 Kinder wurden gefragt, wie sie zur Schule kommen und ob sie heute zu spät waren. 20 kommen mit dem Bus, davon waren 8 zu spät und 12 pünktlich. 20 kommen zu Fuß, davon waren 2 zu spät und 18 pünktlich. Diese vier Zahlen sind die vier Felder, und außen stehen die Randsummen: 10 Kinder zu spät, 30 pünktlich, 40 insgesamt. Jede Randsumme ist eine ganze Gruppe, jedes Feld ein Fall, in dem beides zusammen zutrifft.

Jetzt rechnest du nur noch innerhalb dieser Gruppe: Von den 20 Buskindern waren 8 zu spät, also 8 geteilt durch 20 und damit 0,4. Ohne diese Information wären es 10 von 40 Kindern gewesen, also nur 0,25. Bei den Kindern zu Fuß sind es 2 von 20, also 0,1. Dieselbe Frage, drei verschiedene Zahlen, je nachdem, was du vorher schon weißt. Genau deshalb lohnt sich die Bedingung: Sie macht die Vorhersage schärfer. Manchmal kommt allerdings dieselbe Zahl heraus wie ohne Bedingung. Dann bringt die Zusatzinformation nichts Neues, und man nennt die beiden Merkmale unabhängig. Das ist aber der Sonderfall.

Umdrehen ergibt etwas anderes

$P(A|B)$ und $P(B|A)$ sehen fast gleich aus, meinen aber verschiedene Dinge. Bei unseren 40 Kindern gilt: Von den 20 Buskindern waren 8 zu spät, das sind 0,4. Von den 10 Zuspätkommenden kamen aber 8 mit dem Bus, das sind 0,8. Oben steht beide Male dieselbe 8, unten steht eine andere Gruppe, und deshalb kommt etwas anderes heraus. Wer das verwechselt, zieht schnell falsche Schlüsse, zum Beispiel bei Ergebnissen von medizinischen Tests.