Zufall mit mehreren Stufen

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Münze zweimal hintereinander Kopf zeigt? Oder dass du aus einem Beutel zweimal nacheinander eine rote Murmel ziehst? Sobald der Zufall mehrere Stufen hat, hilft dir Bauchgefühl kaum noch weiter. Zum Glück gibt es eine Regel, die alles klar macht.

Die Pfadregel

Zeichne ein Baumdiagramm und schreibe an jeden Ast die Wahrscheinlichkeit, mit der er genommen wird. Für ein Ergebnis über mehrere Stufen folgst du seinem Pfad und multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten entlang des Wegs. Zweimal Kopf bei einer fairen Münze: Jeder Wurf zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 Kopf, zusammen also 0,5 · 0,5 = 0,25, das ist ein Viertel. Das ist die Pfadregel, und sie funktioniert bei jedem mehrstufigen Zufallsexperiment.

Mit oder ohne Zurücklegen

Bei Murmeln kommt es darauf an, ob du die gezogene Murmel zurücklegst. Beutel mit 2 roten und 3 blauen Murmeln: Mit Zurücklegen ist die Chance auf Rot bei jedem Zug 2 von 5. Ohne Zurücklegen ändert sich der Beutel nach dem ersten Zug: Nach einer roten Murmel sind nur noch 1 rote und 3 blaue übrig, die Chance auf Rot sinkt auf 1 von 4. Die Pfadregel gilt trotzdem, du musst nur die neuen Wahrscheinlichkeiten an die Äste schreiben.

Der Gegenereignis-Trick

Manche Fragen haben viele passende Pfade, zum Beispiel: mindestens einmal Kopf bei zwei Würfen. Statt alle Pfade zusammenzusuchen, rechne mit dem Gegenereignis: kein einziges Mal Kopf. Das ist nur ein Pfad: 0,5 · 0,5 = 0,25. Also ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf 1 − 0,25 = 0,75. Bei Fragen mit mindestens lohnt sich dieser Umweg fast immer.