Streuung & Standardabweichung

Zwei Buslinien brauchen im Mittel 10 Minuten zur Schule. Linie A ist jeden Tag ungefähr 10 Minuten unterwegs, Linie B mal 4 Minuten, mal 16 Minuten. Der Mittelwert ist bei beiden derselbe, aber nur bei einer kannst du dich morgens darauf verlassen. Was dem Mittelwert fehlt, ist ein Maß dafür, wie weit die Werte um ihn herum streuen.

Gleicher Mittelwert, anderes Bild

Notiere die Fahrzeit an fünf Tagen, jeweils in Minuten. Für Linie A sind das 7, 9, 10, 11, 13 und für Linie B 4, 8, 10, 12, 16. Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl, und beide Datensätze haben die Summe 50, also denselben Mittelwert 50 : 5 = 10 Minuten. Trotzdem drängen sich die Werte von A dicht um die 10, während die von B weit auffächern. Eine einzige Zahl als Zusammenfassung reicht also nicht, du brauchst eine zweite für die Streuung.

Die Spannweite

Das einfachste Maß für die Streuung ist die Spannweite: größter Wert minus kleinster Wert. Für Linie A ist das 13 − 7 = 6 Minuten, für Linie B dagegen 16 − 4 = 12 Minuten. Die Spannweite ist schnell berechnet, hat aber eine Schwäche: Sie benutzt nur zwei Werte, alles dazwischen bleibt unsichtbar. Die Listen 5, 10, 10, 10, 15 und 5, 5, 10, 15, 15 haben beide den Mittelwert 10 und die Spannweite 10, obwohl sich die erste um die Mitte drängt und die zweite an den Rändern sitzt. Ein einziger Ausreißer bläht die Spannweite außerdem sofort auf.

Der typische Abstand zum Mittelwert

Ein besseres Maß schaut jeden einzelnen Wert an und fragt: Wie weit ist er vom Mittelwert entfernt? Bei Linie A sind diese Abweichungen −3, −1, 0, 1 und 3 Minuten. Sie einfach zu addieren bringt nichts, denn die Summe ist immer 0: Was über dem Mittelwert liegt, gleicht genau das aus, was darunter liegt. Deshalb quadrierst du jede Abweichung, denn Quadrate sind nie negativ. Der Mittelwert der quadrierten Abweichungen heißt Varianz, und weil beim Quadrieren auch die Einheit quadriert wurde, ziehst du zum Schluss die Wurzel. Das Ergebnis ist die Standardabweichung.

Rechne das für Linie A einmal durch. Der Mittelwert ist 10, die Abweichungen sind −3, −1, 0, 1, 3 und ihre Quadrate 9, 1, 0, 1, 9. Zusammen ergibt das 20, geteilt durch die 5 Werte sind das 4, und die Wurzel aus 4 ist 2. Die Fahrzeiten von A liegen also typischerweise etwa 2 Minuten neben dem Mittelwert. Dieselbe Rechnung liefert für B die Standardabweichung 4 Minuten, also genau die doppelte Streuung, obwohl beide Datensätze denselben Mittelwert haben.