Erwartungswert

Auf dem Jahrmarkt kostet ein Los 2 €. Bei jedem zwanzigsten Los gibt es 30 € zurück, sonst nichts. Lohnt sich das? Ein einzelnes Los sagt darüber nichts aus, denn entweder gewinnst du oder nicht. Interessant wird es erst über viele Lose hinweg, und für diesen Blick gibt es eine Kennzahl: den Erwartungswert.

Ein gewichteter Mittelwert

Beim gewöhnlichen Mittelwert zählt jeder Wert gleich viel. Beim Erwartungswert zählt jeder Wert so viel, wie er wahrscheinlich ist. Du multiplizierst also jeden möglichen Ausgang mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles. Genau deshalb heißt er auch gewichteter Mittelwert: Seltene Ausgänge ziehen wenig, häufige ziehen viel.

Zurück zum Los. Mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{20}$ bekommst du 30 €, mit $\frac{19}{20}$ bekommst du 0 €. Der Erwartungswert der Auszahlung ist $30 \cdot \frac{1}{20} + 0 \cdot \frac{19}{20} = 1{,}50$ €. Du zahlst aber 2 €, also verlierst du im Schnitt 50 Cent pro Los. Über 100 Lose sind das 50 €, und genau davon lebt der Losstand.

Faire Spiele

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns genau 0 ist. Dann gleichen sich Einsatz und Auszahlung auf lange Sicht aus, niemand hat einen Vorteil. Bei unserem Los ist der Erwartungswert des Gewinns $1{,}50 - 2 = -0{,}50$ €, das Spiel ist also nicht fair. Damit es fair wäre, dürfte das Los höchstens 1,50 € kosten oder der Gewinn müsste 40 € betragen.

Wozu das im Ernst gut ist

Erwartungswerte sind die Grundlage jeder Versicherung. Wenn ein Schaden von 5000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 % eintritt, ist der Erwartungswert des Schadens $5000 \cdot 0{,}002 = 10$ €. Genau so wird der Beitrag kalkuliert, plus Verwaltung und Gewinn. Für den einzelnen Versicherten ist das rechnerisch ein Verlustgeschäft, und trotzdem sinnvoll: Man tauscht ein kleines sicheres Minus gegen die Absicherung vor einem seltenen, aber ruinösen Schaden.